利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97 利用导数证明不等式

Posted 2023-04-26

篇首语：人非生而知之，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。本文为你选取作文利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97 利用导数证明不等式四篇，希望能帮到你。

本文目录

1、利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97 利用导数证明不等式（1）

2、读《利用零碎时间》有感（2）

3、做时间的好朋友作文（3）

4、做时间的好朋友作文（4）

利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97 利用导数证明不等式

篇一:《切比雪夫不等式证明》

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且

~XB(1000,1/2).因此

1000=×==npEX,

20)

答题完毕，祝你开心!

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率为

0060000400600400 << =< 100100< < =EXXP

100< =EXXP

97.0

100

= ≥

二、

切比雪夫(hebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P|X-EX|>=ε<=DX/ε^2 或P|X-EX|<ε>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P|X-EX|>=ε

越小，P|X-EX|<ε越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P|X-EX|>=ε的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是0分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于0分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0，一般而言，若是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。

当只求其中一边的值的时候，有antelli不等式：

[1]

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有Pr(|Y| le opeatornaeE(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

篇二:《概统第4章习题答案》

概统

1. 若DX0.004,利用切比雪夫不等式给出概率P(|XEX|0.2)的上界或下界. 解 P(|XEX|0.2)DX/0.220.004/0.040.1,

P(|XEX|0.2)1P(|XEX|0.2)10.10.9.

2. 设DX0.009,0,P(|XEX|)0.9,利用切比雪夫不等式给出的上界或下界. 解 DX/2P(|XEX|)1P(|XEX|)10.90.1,

DX/0.10.009/0.10.09, 0.3.

3. 试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.

解设X为出现的正面数,则X~B(1000,1/2),

EX1000(1/2)00, DX1000(1/2)(1/2)20.

P(400X600)P(|X00|100)P(|X00|100) 1P(|X00|100)1DX/1002120/100000.970.97.

4. 设随机变量X的期望存在,f(x)为正单调上升函数,且Ef(XEX)存在.证明:0,

P(|XEX|)Ef(|XEX|)/f().

证由于f(x)单调上升,故

|XEX|f(|XEX|f().

由于f(x)是正函数,故

P|XEX|Pf(|XEX|)f()Ef(|XEX|)/f().

. 设随机变量X的密度为p(x)

x

I(0,)(x)

.试用切比雪夫不等式证明

1

P0X2(1)



证1 EX



xp(x)dx

0

1

x

dx



(2)

2



(1)!!

1,

(2)!!







xp(x)dx

0

x

dx

(3)!

(1)

DXEX

(EX)(1)(2)(1)1,

P0X2(1)P|X(1)|1P|XEX|1

1P|XEX|11DX/(1)21(1)/(1)2/(1). 证2 p(x)

x

I(0,)(x)

1(1)

(1)1x

I(0,)(x),故 1, DX

11

X~(1,1), EX

11

1.

P0X2(1)P|X(1)|1P|XEX|1

1P|XEX|11DX/(1)21(1)/(1)2/(1).利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97.

6. 重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于0的概率.

解1 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX0,DX2. 根据中心极限定理

, 

X0

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X060000

P(0X60)P



P(02)(2)(0)0.97720.0.4772. 解2 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX0,DX2. 根据中心极限定理

,

X0

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X09.00.0

P(0.X9.)P



P(0.11.9)(1.9)(0.1)0.97130.390.431.

7. 现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？

解设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理

,



.所求的概率是

X1X1000利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97.

P0.01P0.01P 600066000 P(||2.07)2(2.07)120.91210.9624.

. 现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

解设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理

,



.设题述的差的绝对值小于,则

X1X1000

0.99PPP

600066000 P||





21.

由此得0.99,

x6000

2.7,0.0124.

这时相应的良种x满足不等式

0.0124

,故

x(100060000.0124,100060000.0124),

即良种数x数落在区间[926,1074]内.

篇三:《第四章大数定律与中心极限定理答案》

第四章大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1. 设(x)为标准正态分布函数，Xi

1,事件A发生；

100i1

i1,2,,100，且

0,事件A不发生，

P(A)0.，X1,X2,,X100相互独立。令YXi，则由中心极限定理知Y的分

布函数F(y)近似于（）

y0

（A）(y) （B）Ф() （）(16y0) （D）(4y0)

答案：D 二、填空

1. 设X的期望和方差分别为

和2，则由切比雪夫不等式可估计

P(X2)。

答案：

3 4

2．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.，则根据切比雪夫不等式，有P|XY|6________．答案：

1 12利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97.

3．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到1之间的概率为________．与3到21之间

解由题意得，E12,D232, 由切比雪夫不等式得

P61P126D3231212

466

P61

4．已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为________．

解由题意得，E12,D232, 由切比雪夫不等式得

P321P129D321212

999利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97.

P321

．假定生男孩、生女孩的概率均为0.，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在0个到120个之间的概率为________．

解设表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则~B(n,p), 其中n200, p0., 则

E()np2000.100,

D()np(1p)2000.(10.)0.

由切比雪夫不等式得

P0120P100201

6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多

D07

1202202

于20个且少于40个的概率为________.

答案：0.709

7．用切比雪夫不等式估计下题的概率:

求200个新生婴儿中, 男孩多于0个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0..)

答案： 0.7

．设随机变量X~U0,1，由切比雪夫不等式可得P(X

读《利用零碎时间》有感

暑假里，我抽空读了梁实秋先生的散文集，里面有一篇《利用零碎时间》，讲的是如果利用等车、吃饭前、周末等零碎时间来读书、做学问、或研究科学，长年累月下来，必能有所成就。

我觉得这篇文章的观点十分正确，时间就是一点一点积累起来的。

这个时候，我又想起了朱自清的《匆匆》一问中的一句，“时间如流水，来去匆匆”。确实，时间不等人，稍不留神，就从你的指缝之间溜走了，而且，一去不复返。如果我们不好好利用自己的零碎时间，时间就偷偷溜走了，想找也找不回来。想想我以前，等人的时候坐着发呆；放学后写完作业就出去玩；周末就玩得不着家。这些时间都被我浪费了。

读完这篇文章，我觉得我不能再这样浪费时间了，亡羊补牢，犹未为晚。我要把以前浪费的时间一点一点抢回来，好好利用现在的时间读点书、做点事、写些作文。

做时间的好朋友作文

在学习、工作或糊口中，大家都不可避免地要接触到作文吧，作文是人们把记忆中所存储的有关知识、经验和思惟用书面形式表达出来的记叙方式。为了让您在写作文时更加简朴利便，以下是小编为大家收集的做时间的好朋友作文，欢迎阅读与珍藏。

时间是不等人的，它匆匆地来，匆匆地去，就像人们常说的，光阴似箭，日月如梭。你不要觉得它太冷酷，从来都不等你，实在，只要你充分利用它，它就会成为你的好朋友。

俗话说：一寸光阴寸金，寸金难买寸光队。是的，光阴是买不来的，不管你是家财万贯的富翁，仍是手握重权的高官。由于在时间的眼里，任何人都是同等的`，它从来不会为了个人而停滞不前。我也恨过期间，怨它太无情，为什么不能再让我回到童年的夸姣时光中去。后来，我才徐徐明白，这是不可能的，我独一能做的就是掌握手上的每一分，每一秒，好好学习，积极进取，争取早日成材。

现在，我有了一个设法主意：我要和时间交个好朋友。有的人会觉得很希奇，人可以和时间交朋友吗?我郑重地告诉大家：“能!”只要你珍惜时间，充分利用好时间来做一些有意义的事情，可能在不知不觉中，你就已经和时间成为了好朋友。

怎么，不信?那你去尝尝吧。

做时间的好朋友作文

怎么，不信?那你去尝尝吧。