极限

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极限名词解释：分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。
朴素的、直观的极限思想在古代的文献中就有记载。例如中国古代的《墨经》中载有“穷,或有前,不容尺也”,《庄子·天下篇》中载有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。公元3世纪的中国数学家刘徽所创割圆术,从圆内接正六边形出发割圆,得到圆内接正6×2”边形序列,并指出割得越细,正多边形与圆面积之差越小,“割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”。其中包含了深刻的极限思想。
在古希腊,安蒂丰提出求圆面积的穷竭法,后来由欧多克索斯发展为一种较为严格的理论,提出现在分析中通称的“阿基米德公理”。阿基米德把穷竭法成功地应用于面积计算。这些工作都可以看作是近代极限理论的雏形。
随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念就被明确地提出来,但最初提出的极限概念是含糊不清的。例如牛顿称变量的无穷小增量为“瞬”,有时令它非零;又时又令它为零;莱布尼茨的dx、dy也不能自圆其说。因此有人称牛顿和莱布尼茨的极限思想为神秘的极限观。这曾引起18世纪许多人对微积分的攻击,对分析数学的发展带来了危机性的困难。
从19世纪初开始,数学家们转向微积分基础的重建,极限概念才被置于严密的理论基础之上。现今普通微积分课本中函数的极限定义是由柯西和外尔斯特拉斯等人给出的。柯西在1821年提出函数极限定义的ε方法(后来又改写成δ),即所谓极限概念的“算术化”,他把整个极限过程用不等式来刻画,使关于无穷小、无穷大的运算化为一系列不等式的推导。后来外尔斯特拉斯将ε与δ联系起来,完成了极限的ε-δ方法。
关于序列极限的正确概念早在1655年由英国数学家沃利斯给出,但是未被人们采用。捷克数学家波尔查诺在1817年也给出了序列收敛条件的正确表述,可惜他的工作没有广泛为人所知。后来柯西重新得到了这些结果,现在把序列(级数)收敛的判别准则归功于柯西,称之为柯西收敛准则。
极限概念被推广到多元函数和复变量函数时,极限的过程复杂了,但大体上保持了固有的特征。后来,一些数学家发现,有些变量的极限过程比较特殊,例如,给出定积分定义的达布和的极限,极限过程与区间的分割发生了联系,很难用ε-δ语言来描述。曲线弧长的定义也有类似的情形。因此有必要建立极限的一般观点,或称之为广义极限理论。原苏联数学家沙图诺夫斯基、美国数学家穆尔、斯密斯在半序有向集上给出一种极限定义,这种广义的极限概念在现代拓扑学和分析数学中起到重要作用。