摆

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[外文]：pendulum能够产生摆动的一种机械装置。摆的发展和研究，同钟表计时器的发展有密切的关系。意大利著名力学家伽利略首先研究了单摆，后来荷兰科学家C.惠更斯研究了复摆，他们为摆的力学理论奠定了基础。单摆质量可忽略的细杆，其一端悬于固定点，另一端系一质量较大的质点，受重力作用而限定在某平面内摆动的装置，称为单摆或数学摆（图1）。如以很长的细绳代替杆，摆将在较长时间内受地球自转的影响，这种摆称为傅科摆。单摆摆动的力学理论当质点偏离其平衡位置时，重力的切向分力使摆锤向平衡位置运动，到达平衡位置时，切向分力等于零，但摆锤已获得速度，由于惯性，摆锤将继续向前运动，摆锤渐渐升高，速度减小，到最高点静止，再向反方向摆动，这样往复摆动不已。重力的这种切向分力称为摆的恢复力。若忽略空气阻力，当摆角较小时(如小于5°)，可以比较精确地把摆的运动视为简谐运动，又称谐振动。这时摆的偏角θ随时间的变化规律可写作：θ＝θ0sinωt，式中θ0为最大偏角，称摆幅或振幅；ω为摆的角频率，也叫圆频率。若以l表示摆长，则有(1/秒)。摆的周期T=2π（秒）。每秒摆动次数称为摆的频率f，f=1/T，单位为次／秒或周／秒，也称赫兹(简称赫)。摆的周期T与振幅θ0无关。这一重要近似性质，称为摆的等时性。这是伽利略的重大发现，已成为钟表原理的基础。单摆的运动微分方程不计空气阻力为：。如角度θ很小，上述非线性微分方程可线性化为：，它的解正是上面所给出的谐振动方程θ＝θ0sinωt。在θ不很小的一般情况下，上述非线性微分方程的解只能通过椭圆函数来表示，这时摆的运动规律不再是谐振动，周期的等时性不再成立，周期T和摆的最大偏角θ0的关系如下：。如θ0=5°，线性化后的周期T=2π的误差约为0.05％。傅科摆法国力学家J.-B.-L.傅科发明的用以解释地球自转的摆（见彩图）。傅科于1851年在巴黎作了表演，他用的摆是一个重62磅的铅球，悬挂在220英尺长的细钢丝下。在摆动持续的很长时间内，由于摆动平面相对惯性坐标系（例如以地心为原点、坐标轴指向恒星的坐标系）是不动的，但地球上的观察者随地球而转动，所以地上的观察者就看到摆动平面沿地球自转相反的方向转动。以T0表示摆的周期，TE表示地球自转周期，嗞表示摆所在地的地球纬度，则摆平面的旋转周期T=TE/sin嗞。设摆锤所画的瞬时椭圆的半长轴为a，半短轴为B，则。利用这摆可求出地球的自转角速度和摆所在地的纬度，以验证地球自转的存在。复摆在重力作用下能绕固定转轴摆动的物体，称为复摆或物理摆（图2）。物体的重心不在固定转轴上。若物体质量为m，对转轴O的转动惯量(惯性矩)为I，重心C到轴O的距离为d，则摆的周期为：式中g为重力加速度。复摆的运动规律和性质类似单摆。利用复摆可以测量一些刚体对某轴的转动惯量。在测量出摆的周期后，按下式可计算转动惯量：。复摆和单摆的运动微分方程类同，它们的运动规律和运动性质类似，故可找到一个同复摆的摆动完全一样的等价单摆。若仍取m为等价单摆的质量，则其摆长应为：，式中ρ为复摆对C轴的回转半径;L为复摆的等价摆长或简化摆长。将OC延长至O1使OO1＝L(图4)，则物体上O1点的振动跟长为L=OO1、摆锤质量为m的等价单摆的振动完全相同（取初始条件相同）。因此，O1点称为以穿过O点的轴为摆轴的复摆的摆动中心。记CO1=l，则ld=ρ2。这个公式表明，如果摆轴穿过O1点，其对应的摆动中心则为O，从而证明：摆动轴与摆动中心是互逆的，摆动中心与碰撞中心重合（见碰撞）。扭摆由细弹性杆支承、能绕杆轴扭转的装置（图3）。当物体转过一个角度，弹性轴就给物体一个恢复力矩，使它回到平衡位置；物体由于惯性将继续沿反方向转动，这时相反的恢复力矩使物体减速、停止并回转，如此往复产生扭转振动。设I为物体绕轴线的转动惯量，K为轴的刚度系数（每转单位角度时的力矩），则扭摆的周期为：。在恢复力矩Μ与转角θ成比例的弹性限度内，扭摆作为刚体的定轴转动，其运动微分方程为：I嬻＋Kθ＝0。这个方程和单摆的微振动微分方程一样，因此，它们的运动规律也类似，都是谐振动。可逆摆在摆动轴和摆动中心处安装相对的刃口支承的复摆（图4）。利用复摆周期公式可以算出重力加速度g。为此需要测量I、T、m和d。但利用等价单摆，只要知道T和等价长度L，就可算出g。为此，在杆上重心C的两边分别装两个相对的刃口支承O和O1，其中一个的位置可以调节。通过试验调节刃口支承的距离，使两刃口支承分别互为摆动轴和摆动中心，它们之间的距离L=d+l正好给出等价摆长。据g=4π2L/T2，可直接算出g的值。利用可逆摆的原理可以测量物体的转动惯量。双摆轴互相平行，一个摆的支点装在另一摆的下部所形成的组合物体。双摆有两个摆角θ和嗞，所以有两个自由度。双摆是多自由度振动系统的最简单的力学模型之一。等时摆周期和振幅无关的摆。单摆的周期和摆幅有关，惠更斯于1673年研究了一种周期和摆幅无关的等周期摆，被称为等时摆。如图5所示，钢板OA和OA′是旋轮线；以O点为悬挂点、m为摆锤质量的单摆，一偏离铅垂位置，便贴向OA或OA′，使其有效长度（锤到切点的自由长度）减少。摆锤的轨迹是OA的渐开线，它本身也是一个旋轮线，圆C是其生成圆。这种摆并未应用于实际装置。双线摆由两根细钢丝悬挂起来，使物体只能摆动而不能扭动的装置（图6）。悬线在静止时是铅直的，但在摆动中保持平行。双线摆可用来测量质量为m的物体绕某一过重心C的轴x的转动惯量Ix(x轴与过二悬挂点的x′轴平行)。测出摆的周期T，便可算出物体对x′的转动惯量Ix′，再按平行轴定理算出Ix来。设L表示二轴间的距离，其计算公式为：。三线摆由三根平行线悬挂的、能绕对称轴作扭转振动的装置（图7）。在双线摆不适用的情况下，如测转盘对垂直盘而且过重心C的轴x的转动惯量时，常采用三线摆。用三根线把物体悬挂起来，三根线彼此对称，并同轴x平行。当物体扭转振动时，x轴静止，物体绕x轴作扭转振动。三线摆就表现为一扭摆。测量出摆动的周期T，就可按下式算出被测物体的转动惯量Ix：，式中W为物体重量；R为悬挂点的半径;L为悬线长。对于不便于悬挂的物体，可把它放在圆盘上，当测出总转动惯量后，减去圆盘的转动惯量，就得到物体的转动惯量。