序数

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序数名词解释：集合论基本概念之一。是“第一”、“第二”等表示次序的数在概念上的推广。康托尔原来把序数定义为良序集a的序型ā,作为所有与a序同构的集的共同特征,即与a序同构的良序集的等价类。后来人们发现对于任何非空良序集,即使最简单的单元集\',与它序同构的所有良序集事实上并不构成一个集,因此原来的定义是不够理想的。第一个满意的陈述是1923年由冯·诺伊曼提供的,他把序数定义为满足下述条件的良序集α名词解释：由α的任一元素β所决定的初始截段,即集α中所有小于β的元素所成之集,总与β相等。例如集合6,它由0、1、2、3、4、5这6个元素所构成,以通常的大小为次序,显然6是一个良序集;在其中任取一个元素例如3,由3所决定的初始截段是0,1,2,这个集合就是3。所有集合6中的其他元素也都具有这样的性质,因此集合6是一个序数。上述讨论完全适用于任何一个自然数,所以每一个自然数都是序数。1937年罗宾逊给出了序数的另一等价定义。如今这样的定义已不下四种,它们分别用不同的方式,表述序数的本质属性。序数可分为三类名词解释：第一类只含有一个序数0;第二类是后继序数,它包含一切具有最大元素的序数;第三类称为极限序数,它包含一切没有最大元素的非0序数。任何良序集必同构于一个唯一的序数,称为该良序集的序数。具有相同序数的两个良序集必相互序同构,因此序数可以看成所有序同构的良序集的代表。