曲面
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曲面名词解释：微分几何研究的主要对象之一。直观上,曲面可以看作是空间具有二个自由度的点的轨迹。数学中通常称曲面是二维拓扑流形,即满足于第二可数公理,且各领域与欧几里得平面的圆的内部同胚的拓扑空间。约公元前300年欧几里得在《几何原本》中给出面的定义名词解释：面只有长度和宽度,面的边缘是线。这是对面的最早说明。但同线的概念一样,“长度”、“宽度”等都还没有定义,因此是不完全的定义。古希腊流传下来的朴素概念认为曲线移动可以形成曲面,或立体的表面是曲面等。也有人称不是平面的面为曲面,但在现代数学中曲面有包含平面的意义。
最早研究曲面性质的是古希腊科学家阿基米德,他得到旋转抛物面的一些有趣性质。系统的曲面理论的研究始于17世纪末,最先讨论的是曲面上的测地线。1697年约翰·伯努利提出一凸曲面上求两点间的最短弧问题,第二年雅各布·伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题。1728年欧拉给出曲面上测地线的微分方程,1760年又在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论,1771年发表《论表面可以展平的立体》中首次讨论了可展曲面。他的工作由法国数学家蒙日等人进行了发展。蒙日在1802年发表的《代数在几何中的应用》一文中证明了二次曲面的每一个平面截口是一条二次曲线,还证明了单叶双曲面和双曲抛物面是直纹曲面。19世纪射影几何复兴,曲面理论随之发展。1832年瑞士数学家施泰纳利用射影原理造出直纹二次曲面,后来英国数学家凯莱(1849)、德国数学家库默尔(1864)先后给出三次和四次曲面的特别例子。
1827年高斯发表《关于曲面的一般研究》,奠定了曲面论的基础。他研究了曲面的曲率,提出曲面作为一个空间的概念,使曲面的几何可以集中在曲面本身上进行研究。这种思想由黎曼继承并发展,推广到任何空间,其中关于任意n维流形的曲率概念就是高斯关于曲面的总曲率概念的推广。以后匈牙利数学家拉多给出黎曼曲面的一种精确定义,1925年证明了曲面一般可进行单形剖分,从而可与二维多面体同胚的结论。在曲面的整体性质方面,德国数学家麦比乌斯最早发现单侧曲面,将长方形的边扭成180°后与对边粘合得到的麦比乌斯带是不可定向曲面中最著名的例证。曲面理论的进一步结果体现在微分几何学与拓扑学等学科中,其研究方兴未艾。