文史百科高等数学的历史发展

Posted 2022-12-19 数学

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一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。

由此可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。

19世纪以前确立的几何、代数、分析三大数学分支中，前两个都原是初等数学的分支，其后又发展了属于高等数学的部分，而只有分析从一开始就属于高等数学。

分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始，因此，研究变量是高等数学的特征之一。

原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象，现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。

如数学分析中研究的限于实变量，而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和向量、张量形式的，以及各种几何量、代数量，还有取值具有偶然性的随机变量、模糊变量和变化的（概率）空间——范畴和随机过程。

描述变量间依赖关系的概念由函数发展到泛函、变换以至于函子。

与初等数学一样，高等数学也研究空间形式，只不过它具有更高层次的抽象性，并反映变化的特征，或者说是在变化中研究它。

例如，曲线、曲面的概念已发展成一般的流形。

按照埃尔朗根纲领，几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论，这也就是说，几何是将各种空间形式置于变换之下来来研究的。

无穷进入数学，这是高等数学的又一特征。

现实世界的各种事物都以有限的形式出现，无穷是对他们的共同本质的一种概括。

所以，无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。

数学中的无穷以潜无穷和实无穷两种形式出现。

在极限过程中，变量的变化是无止境的，属于潜无穷的形式。

而极限值的存在又反映了实无穷过程。

最基本的极限过程是数列和函数的极限。

数学分析以它为基础，建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论，初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。

另外一些形式上更为抽象的极限过程，在别的数学学科中也都起着基本的作用。

还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体，也就说是无穷集合，例如群、环、域之类及各种抽象空间。

这是数学中的实无穷。

能够处理这类无穷集合，是数学水平与能力提高的表现。

为了处理这类无穷集合，数学中引进了各种结构，如代数结构、序结构和拓扑结构。

另外还有一种度量结构，如抽象空间中的范数、距离和测度等，它使得个体之间的关系定量化、数字化，成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。

上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵，能够彼此区分，并由此形成了众多的数学学科。

数学的计算性方面。

在初等数学中甚至占了主导的地位。

它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。

在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。

除了数学基础、集合论、数理逻辑这样一些基础性学科之外，数学分为初等数学与高等数学两大部分。

它们有共同的基础，而彼此之间并没有严格的界限。

它们都是人类文明在不同发展阶段的产物，但并不像某些事物那样，后发展起来的可以代替古老的，随着人类文明的进步，数学中某些局部的、繁琐的成果或工作可能被淘汰，而其总体仍然是有用的，并必将向着更加综合和抽象、结构更多样化的方向发展下去。

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