文史百科高二数学寒假作业北师大版答案要全部

Posted 2022-12-17 根号

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直线AB与圆C:x²＋y²－2x－2y＋1＝0相切,切交x轴的正半轴于A,交y轴的正半轴于B,点O为坐标原点,点A的横坐标大于1.

(1) 求线段AB中点的轨迹方程;

(2) 求△AOB的面积的最小值。

解：（1）圆C：x²＋y²－2x－2y＋1＝0，

即：（x-1）²＋(y-1)²＝1,圆心为(1,1),半径为1.

又直线与圆相切,设(x/a)+(y/b)=1(ab不等于0)

AB的中点坐标为Q(a/2,b/2).

d=|x0b+ay0-ab|/根号(a²+b²)=|1*b+a*1-ab|/根号(a²+b²)=1,

两边平方得:(b+a)²-2ab(a+b)+(ab)²=a²+b²,

:2ab-2ab(a+b)+(ab)²=0,ab[2-2(a+b)+ab]=0,

1/2-(a/2)-(b/2)+(a/2)(b/2)=0.

线段AB中点Q(x,y)的轨迹方程为(1/2)-x-y+xy=0(x>1/2)

（2）又直线与圆相切,设A(a,0),B(0,b),a>1,b>0,

(x/a)+(y/b)=1(ab不等于0)

2-2(a+b)+ab=0. (a+b)大于等于2根号ab,[根号(ab)]²-4根号(ab)+2>=0,

根号(ab)<=2-根号2,ab<=6-4根号2,

当a=b=2+根号2时,a+b=2根号ab,

S△AOB=(1/2)ab最小值为3-2根号2.

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