柯西收敛原理怎么使用(聚点定理的推论——致密性定理,证明数列柯西收敛准则的充分条件)

Posted

篇首语:吾生也有涯,而知也无涯。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了柯西收敛原理怎么使用(聚点定理的推论——致密性定理,证明数列柯西收敛准则的充分条件)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

柯西收敛原理怎么使用(聚点定理的推论——致密性定理,证明数列柯西收敛准则的充分条件)

#我在头条搞创作第二期#

聚点定理是《老黄学高数》系列视频第218讲分享的内容,指的是实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点。聚点定理还有一个推论,叫作致密性定理,全称是有界无限数列的致密性定理,《老黄学高数》系列视频第219讲也对它进行了介绍。

致密性定理的内容非常简单,即有界无限数列必含有收敛子列. 但它本身未必收敛哦。因为它同时可能存在不收敛的子列。

为了证明这个推论,设任意一个有界无限的数列xn,若这个数列含有无限多个相等的项,那么由这无限多个相等的项构成的数列,就是原数列的一个常数子列,而常数列总是收敛的。

如果数列中不含无限多个相等的项,那么数列在数轴上对应的点必然会构成一个有界无限的点集。

由聚点定理可知,有界无限点集至少有一个聚点。由于这个聚点肯定是区间套确定的点,因此原数列必有一个以它为极限的收敛子列,事实上原数列有无限多个以这个聚点为极限的收敛子列。

这个推论可以用来证明数列的柯西收敛准则的充分性。因为必要性只需极限的定义就可以证明,所以这里只证明充分性。

根据柯西收敛准则的收敛条件,取ε0=1,就有正整数N,使当m=N+1>N,而n>N时,就有|an-am|<1. 什么意思呢?N是一个有限值,所以m也是一个有限值,所以N和m对应的项,都是可以确定的。从而对应的项也是有限值。而小n就不一定是有一个有限值了。它只要比N大就可以了,所以可以是无穷大。但它的值,却被限定在邻域U(am,1)上了。

因此,可以推出|an|=|an-am+am|≤|an-am|+|am|<|am|+1. 这里运用了绝对值的三角不等式。目的是证明an是有限值。

取M=max|a1|,|a2|,…,|aN|,|am|+1,,它就是整个数列的绝对值的上界,这说明原数列是有界的. 由致密性定理可知,有界无限数列an必有收敛子列.

记这个收敛子列的极限为A,根据极限的定义,任给正数ε,不论它有多小,总存在一个正整数K,使得当m,n,k大于K时,同时有|an-am|<ε/2, |a_(nk)-A|<ε/2.

由于m和nk都是任意的,所以每一个nk都可以找到一个m与之相等,而子列下标nk肯定大于原数列的下标k,k又大于K,那些下标小于nk的项,我们并不需要理会,因为列数极限只须研究下标充分大时的无穷多个项,也是数列几乎所有的项就可以了。

这就有|an-A|≤|an-a_m|+|a_(n_k )-A|<ε.,从而由极限的定义可知an也收敛于A,柯西收敛准则的充分性得证。

目前老黄已经用了三种方法证明柯西收敛准则的充分性了。第一种是在《老黄学高数》的第78讲介绍的,运用的是戴德金分割的原理;第二种是在第215讲介绍的,运用的是区间套定理及其推论;而这里介绍的就是第三种证法。你可以对比一下,哪一种证法更优越,这个过程中,能加深你对相关知识的理解的哦。

相关参考

高等数学自学方法

1、首先学习高等数学要搞清楚每个定理的原理,也就是每个定理的证明,这个可以问你们学校数学系的学生借一本数学分析就行了。数学分析这门课就是教你去证明定理。2、数学分析这本书的用法不是简单的让你背证明步骤,...

数学家柯西生平成就介绍,发现柯西积分定理的数学家是谁

柯西简介柯西(Cauchy,AugustinLouis1789-1857),出生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员,在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因,柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派,是一位虔诚的天...

特定形式词语(初中数学会用到的所有证明定理都在这里)

初中数学解题方法总结:一、选择题的解法1、直接法:根据选择题的题设条件,通过计算、推理或判断,最后得到题目的所求。2、特殊值法:(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关;在解这类选...

特定形式词语(初中数学会用到的所有证明定理都在这里)

初中数学解题方法总结:一、选择题的解法1、直接法:根据选择题的题设条件,通过计算、推理或判断,最后得到题目的所求。2、特殊值法:(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关;在解这类选...

初一的数学题证明过程怎么证

...定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础,知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存...

证明勾股定理的方法真题

1、首先设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。2、设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。其边为BC、AB和CA,...

hl是什么意思

1、数学里HL是HL定理。即是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、HL定理是证明两个直角三角形全等的定理,通过证明两个直角三角形直角边和斜边对应相等来证明两个三角形全等。3、判定定理为:如果两个直角...

hl是什么意思

1、数学里HL是HL定理。即是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、HL定理是证明两个直角三角形全等的定理,通过证明两个直角三角形直角边和斜边对应相等来证明两个三角形全等。3、判定定理为:如果两个直角...

道理论证是什么

...作中的精辟见解、古今中外名人名言及被人们公认的科学原理、定理、公式等来证明观点。例如:《谈读书》(人教版九上课文)第十段列举“读史使人明智,读诗使人聪慧,演算使人思维精密,哲理使人思想深刻,伦理学使人...

道理论证是什么

...作中的精辟见解、古今中外名人名言及被人们公认的科学原理、定理、公式等来证明观点。例如:《谈读书》(人教版九上课文)第十段列举“读史使人明智,读诗使人聪慧,演算使人思维精密,哲理使人思想深刻,伦理学使人...