柯西收敛原理怎么使用(聚点定理的推论——致密性定理,证明数列柯西收敛准则的充分条件)
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柯西收敛原理怎么使用(聚点定理的推论——致密性定理,证明数列柯西收敛准则的充分条件)
聚点定理是《老黄学高数》系列视频第218讲分享的内容,指的是实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点。聚点定理还有一个推论,叫作致密性定理,全称是有界无限数列的致密性定理,《老黄学高数》系列视频第219讲也对它进行了介绍。
致密性定理的内容非常简单,即有界无限数列必含有收敛子列. 但它本身未必收敛哦。因为它同时可能存在不收敛的子列。
为了证明这个推论,设任意一个有界无限的数列xn,若这个数列含有无限多个相等的项,那么由这无限多个相等的项构成的数列,就是原数列的一个常数子列,而常数列总是收敛的。
如果数列中不含无限多个相等的项,那么数列在数轴上对应的点必然会构成一个有界无限的点集。
由聚点定理可知,有界无限点集至少有一个聚点。由于这个聚点肯定是区间套确定的点,因此原数列必有一个以它为极限的收敛子列,事实上原数列有无限多个以这个聚点为极限的收敛子列。
这个推论可以用来证明数列的柯西收敛准则的充分性。因为必要性只需极限的定义就可以证明,所以这里只证明充分性。
根据柯西收敛准则的收敛条件,取ε0=1,就有正整数N,使当m=N+1>N,而n>N时,就有|an-am|<1. 什么意思呢?N是一个有限值,所以m也是一个有限值,所以N和m对应的项,都是可以确定的。从而对应的项也是有限值。而小n就不一定是有一个有限值了。它只要比N大就可以了,所以可以是无穷大。但它的值,却被限定在邻域U(am,1)上了。
因此,可以推出|an|=|an-am+am|≤|an-am|+|am|<|am|+1. 这里运用了绝对值的三角不等式。目的是证明an是有限值。
取M=max|a1|,|a2|,…,|aN|,|am|+1,,它就是整个数列的绝对值的上界,这说明原数列是有界的. 由致密性定理可知,有界无限数列an必有收敛子列.
记这个收敛子列的极限为A,根据极限的定义,任给正数ε,不论它有多小,总存在一个正整数K,使得当m,n,k大于K时,同时有|an-am|<ε/2, |a_(nk)-A|<ε/2.
由于m和nk都是任意的,所以每一个nk都可以找到一个m与之相等,而子列下标nk肯定大于原数列的下标k,k又大于K,那些下标小于nk的项,我们并不需要理会,因为列数极限只须研究下标充分大时的无穷多个项,也是数列几乎所有的项就可以了。
这就有|an-A|≤|an-a_m|+|a_(n_k )-A|<ε.,从而由极限的定义可知an也收敛于A,柯西收敛准则的充分性得证。
目前老黄已经用了三种方法证明柯西收敛准则的充分性了。第一种是在《老黄学高数》的第78讲介绍的,运用的是戴德金分割的原理;第二种是在第215讲介绍的,运用的是区间套定理及其推论;而这里介绍的就是第三种证法。你可以对比一下,哪一种证法更优越,这个过程中,能加深你对相关知识的理解的哦。
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