板簧设备(汽车起重机板簧三维公差建模及优化研究)

Posted 2023-05-29

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板簧设备(汽车起重机板簧三维公差建模及优化研究)

于连海1 胡吉全1,2

1 武汉理工大学物流工程学院武汉 430063 2 教育部港口物流技术与装备工程研究中心武汉 430063

摘要：研究雅克比旋量模型的建模原理及公式的物理意义，分析旋量模型的取值缺陷，并结合蒙特卡洛法进行优化。其优化内容包括优化旋量模型代入至雅克比旋量模型时的计算原理；增加旋量模型中矢量的约束条件；优化取值范围内的随机数生成方法，使旋量模型获得的随机变量与真实情况符合度更高。另外，将优化后的三维公差模型应用于板簧机构上，计算汽车起重机板簧卷耳孔的空间位姿变化，以此提高底盘装配时车轴孔同轴度的可控程度。

关键词：汽车起重机；三维公差模型；模型优化；位置尺寸；旋量参数

中图分类号：TH244 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）16-0065-06

0 引言

传统二维空间尺寸链在传递和表达公差模型时存在局限性，随着目前工业化的逐渐发展，渐渐不满足当下对于尺寸公差模型的要求。所以，三维尺寸链公差模型应运而生。三维公差分析技术是在三维空间内传递零件及装配体公差信息的公差表达模型，其核心是将模型中的尺寸参数和旋量参数转化为矩阵的形式，以数学模型的方式进行数学建模，通过一系列数学推导，最终构建完整的三维公差表达模型，可求解关键点相对于基准表面的位置尺寸和旋量参数的浮动区间，以应对工业生产的各种要求。

板簧作为汽车起重机底盘装配中的核心部件之一，具有连接底盘与车桥和承担整车负载的重要作用，其卷耳孔的位置精度直接影响到车轴的装配质量，而传统二维空间尺寸链由于其表达的局限性，在计算卷耳孔位置精度时建模困难，故本文将对雅克比旋量模型进行深入研究，优化其建模过程，并将其应用至板簧三维公差建模上，提供一种针对汽车起重机板簧的计算便捷，结果准确的公差建模方法[1]。

1 雅克比旋量模型建模原理

1.1 旋量模型

旋量模型[2] 最早是被用来描述物体的位置及姿态变换的。即任何物体从一种位姿转移到另一种位姿的过程。其原理为应用微小矢量来表示空间运动，一组是控制位置的矢量ε，另一组是控制方向旋量的矢量ρ，其标准表达式为

1.2 雅克比矩阵

雅克比矩阵的思想是利用杠杆原理，将任意特征i的旋量矢量和位置矢量平移到目标点上，使该矢量对于目标点的影响等于该矢量与其距目标点的距离[win] 的叉乘，[win] 的表达式为

由于每个特征对目标点的影响相互独立，故这种叉乘计算可直接累加，即所有对目标点位姿造成影响的特征累加即为目标点的位姿值，同时，这种累加需要将所有的矢量转换到全局坐标系下计算，将二者结合就是完整的雅克比矩阵，即

1.3 雅克比旋量模型

雅克比旋量模型[3] 分两部分：应用于传递几何特征的位移和应用于传递几何特征的旋量。这种传递方式与旋量模型具有极高的匹配度，将二者结合起来即可对任意由n 个特征组成的装配体进行三维公差域再建模，即为雅克比旋量模型，其表达式为

2 蒙特卡洛法优化

2.1 雅克比旋量模型取值研究

前述建立的雅克比旋量模型可对任意由n 个特征组成的装配体进行三维公差域再建模，得到目标点的位姿变化。然而，在雅克比旋量模型的计算中，仍存在以下不足之处：

1）以粗糙平面接触装配为例，在得到旋量模型的各参数的计算过程中，旋量γ 由公差域μ 所决定，当装配体关于x 方向的位移矢量μ 的取值范围为[-t/2，t/2]时，装配体关于z 方向的旋量γ 的取值范围为[-t/b，t/b]，这就使得图1 所示虚线区域内的所有取值都会成为公式计算中自变量的定义域。然而在实际情况下，关于z 方向旋量γ 的取值受关于x 方向位移矢量μ 的取值影响，当μ 的取值等于t/4 时，旋量γ 的取值范围变为 [-t/(2b)，t/(2b)]。由此类推，最终得到装配体的实际取值范围应如图1 中实线所示，这就造成了公式中取值范围过大的问题，最终会影响结果的准确性。

图1 旋量模型中约束的变动区间

2）在旋量模型计算过程中，对旋量中各矢量的取值遵循着在公差域范围内平均取值。在实际工况下，正常加工出的零件实际尺寸并非遵循着在公差域内平均取值的情况，而是大部分集中在标准值附近，少部分处于公差极值附近。所以，为了使计算结果更加符合实际情况，需要探寻一种新的计算方法对于原本的雅克比旋量模型进行优化，使计算结果与真实范围更接近。

2.2 蒙特卡洛法优化内容

1）对仿真手段进行优化，传统雅克比旋量模型的仿真原理为直接将旋量模型中的矢量取值范围边界代入到雅克比矩阵中直接进行计算，这样获得的结果仅为极限情况结果，不具有普遍性。本文结合蒙特卡洛算法对其仿真过程进行优化，取值过程改为在旋量矩阵矢量取值范围中产生随机数代入至雅克比矩阵中进行计算，所获得的结果为大量随机数计算而得的目标特征矩阵FR，再计算这些矩阵中各参数的均值μ 及方差σ，并取3σ 以内区间为可信区间，作为最终FR 的取值范围，使结果更具有通用性。

2）对旋量矩阵中矢量取值范围的随机数生成方式进行优化，将原本的范围内平均概率随机取值优化为正态分布概率随机取值，使取得的随机点满足中间取值集中，越靠近边界越疏散的物理特性，更加符合真实零件尺寸和装配误差情况。

3）对旋量矩阵中矢量的约束条件进行优化，增加一组关于位移和旋量之间的约束方程，使每一组随机数都符合实际情况，不会取得实际情况无法获得而传统旋量矩阵中包含的点，以此来保证结果不包含错误点的影响。

2.3 蒙特卡洛法优化步骤

结合上述优化过程，获得优化后的雅克比旋量模型建模方法，并将其推广至本文所研究的板簧模型上进行应用，优化后的雅克比旋量模型建立共包含5 个步骤：

1）构建装配体三维模型分析各零件的尺寸公差及装配形式。根据实际情况，构建板簧装配体三维模型，并详细标注其各零件尺寸公差，形位误差及主要尺寸等重要参数，为建立雅克比旋量模型提供数据基础。

2）建立雅克比旋量模型根据装配体的结构特点及装配流程，构建空间直角坐标系，包括整个机构坐标点取值的全局坐标系及对每个分析点的局部坐标系，分析各构件之间的装配关系，将装配接触类型按照雅克比旋量模型的要求进行划分，分辨出内部功能特征（InternetFE，IFE）、连接功能特征（Contact FE，CFE），平行功能特征（Parellel FE，PFE）和功能要求（FR），建立以不同目标点为研究对象的装配关系图，并根据每个接触点的局部坐标系确定各点雅克比矩阵，为后续引入算法计算做准备。

3）计算各参数的均值并转化为正态分布结合上节中分析所得，对参数在取值范围内的取值形式进行优化，将原本的平均取值转化为正态取值，计算每个参数空间的均值，构建其正态分布空间，并在该空间内产生随机数，代入至Matlab 平台进行计算。

4）计算旋量中各参数在公差范围内的变动以及由蒙特卡洛法所得到的约束方程前述分析得到了雅克比旋量矩阵的旋量模型中各参数取值范围的缺陷原因，结合蒙特卡洛法的约束方程对其进行优化，对不同接触形式的公差范围，给予一个额外的约束方程，对产生的随机数进行筛选，消除其取值过程中可能取到与实际不符的点的可能，优化其取值范围，使对取值范围内取值时得到的随机数与真实情况更加符合。

5）结果分析通过循环语句计算仿真结果中各参数的均值μ 及方差σ，并取3σ 以内区间为可信区间，作为最终FR 的取值范围。

3 三维公差建模技术在板簧上的应用

3.1 构建板簧三维模型及工程图标注

板簧主要由三部分组成，板簧底座，钢板弹簧和板簧盖构成，是车辆底盘的重要组成部分之一，具有传力，减震缓冲和转向导向作用，同时也是车辆底盘与轴榖的连接装置，所以对于整车装配完成的轴榖装配质量具有深远的影响，如图2 所示为板簧装配体三维模型。

图2 板簧三维模型

将对板簧进行雅克比旋量模型建模，在建模的过程中，需要代入大量的尺寸公差、形位误差及主要尺寸等设计参数，故需将建立的三维模型导出成二维工程图，并详细标注各种参数，为后续的模型求解提供数据支持，图3 ～图5 为板簧各零件的结构和公差信息。

图3 板簧底座结构及设计参数示意图

图4 钢板弹簧结构及设计参数示意图

图5 板簧盖结构及设计参数示意图

3.2 构建装配连接关系图

在构建雅克比旋量模型前，需要先构建该机构的装配连接关系图，该机构的装配过程为：1）用U 形铁与螺栓将钢板固定，形成钢板弹簧；2）将钢板弹簧放置与板簧底座上，使钢板弹簧的侧面与底面紧贴板簧底座；

3）将板簧盖与钢板弹簧和板簧底座进行装配；4）用长螺栓将板簧盖与板簧底座进行连接；5）用短螺栓将板簧盖与板簧底座的侧面进行进一步加固，使其结构稳定，如图6 所示，该图通过逻辑关系图的形式，展现了在板簧装配体内部各零件之间的连接关系及装配类型，装配路径包含了一条串联路径和一条并联路径，其中板簧底座与钢板弹簧的接触由于为平面紧密接触，不存在旋量的变化，且钢板弹簧卷耳相对于钢板弹簧底面的位姿变换等同于钢板弹簧卷耳相对于钢板弹簧顶面的位姿变换，所以这一接触不被化为三维公差模型计算范围之内。其中并联路径为板簧底座与板簧盖小端面的L 形平面接触。

图6 装配连接关系图

3.3 构建雅克比旋量模型

明确整个机构的装配路径及装配连接关系图后，需要对旋量模型中的每个矢量的取值范围及约束方程进行计算，结合板簧零件图中的形位误差，尺寸公差，装配误差等参数及蒙特卡洛法约束方程优化，获得板簧的旋量模型参数取值及约束方程如表1 所示。

其中并联路径中的装配为L 形平面接触，可利用局部并联尺寸链的计算方法进行计算，由于其雅克比矩阵相同，故只需将其旋量模型进行并的计算，将PFE1、PFE2、IFE1、IFE2 等整合为一个新的矩阵T1，其表达式为

对新旋量矩阵中包含的各旋量矩阵中的矢量进行交的运算，得到新矩阵的取值范围为

再将表1 中各参数按正态分布随机取值代入至Matlab 进行仿真计算，在取值范围内获取随机数，对矩阵进行计算。图7 为仿真一次获得的结果，设定仿真次数为3 000 次，根据约束方程对选取的随机数进行筛选，剔除部分随机数，将保留下来的仿真结果通过循环语句计算出其均值μ 及方差σ，取3σ 以内区间为可信区间，即可得到FR 所对应的旋量矩阵，即为所求板簧卷耳孔的空间位姿变化。

图7 一次仿真结果

5 结论

1）基于雅克比旋量理论建立了可同时处理尺寸、形位公差的数学模型，研究了雅克比旋量模型的构建方法。

2）利用蒙特卡洛法对雅克比旋量模型就行优化，研究了优化方法及内容，并给出了优化后模型分析的具体步骤。

3）将优化后的公差建模方法运用到汽车起重机板簧的公差研究上，计算得到板簧卷耳孔的位姿变化区间，进而实现底盘装配车轴孔同轴度可控的目的。

参考文献

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