曲面转化为网格(扭结的故事2：带边界的曲面与扭结)

Posted 2023-05-29

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曲面转化为网格(扭结的故事2：带边界的曲面与扭结)

我们不得不再次提到可定向闭曲面的欧拉公式——

定理2（可定向闭曲面欧拉公式）

其中是亏格（genus），就是闭曲面上的洞.（所以说天才genius就是指脑洞genus很多的人吗？）那么不可定向曲面呢？

定理3（不可定向闭曲面欧拉公式）

克莱因瓶，不可定向曲面. 图片来源于网络

抡完这三板斧，我们就可以进一步思考紧致带边界的闭曲面该如何确定了.

其实带边界的曲面总可以变成闭曲面，只要给它戴上“帽子”就可以了，帽子同胚于圆盘.

所以无需在带边曲面上进行三角剖分，我们先确定带边曲面有条边界曲线（若干的圈），然后给每一条边界曲线带上一顶帽子，形成新的闭曲面只增加了个面而顶点数、棱数均没有改变，只需最后将添加的顶帽子还回去即可. 回忆定义1，所以自然得到如下公式：

定理4

由闭曲面分类定理（定理2、3），曲面的定向与亏格决定了唯一的闭曲面，而从闭曲面上挖去圆盘，具体是在什么位置挖、挖多大，对拓扑结构都没有影响，唯一有影响的就是挖掉的圆盘个数，它决定了带边流形的边界个数.

3. 回到纽结

我们终于回到了文章的出发点，就像是纽结一样绕了一个圈子. 所以纽结和带边曲面有什么联系呢？既然莫比乌斯带的边界是平凡纽结，那么对于其他纽结而言，它们是否也可以构造出相应的曲面？这样的曲面我们称之为Seifert曲面. 1934年，德国数学家 Herbert Seifert 提出一种算法：给定任何一个纽结，都可以得到带边可定向曲面，且曲面的边界就是该纽结，不过这样的曲面并不唯一. 当然我们更偏爱其中亏格最小者，于是们定义带边曲面的亏格就是像这样的Seifert曲面的亏格.

如上图，左右两边的曲面的边界都是三叶结，可是左手边是莫比乌斯带，是不可定向曲面，而右手边才是三叶结的Seifert. 通过简单的剖分，我们可惜迅速计算其欧拉特征为，（如下图，给出了一个具体的分割方案，得到6个顶点，9条棱，2个面.）于是其原闭曲面的欧拉特征由定理4可得，再由定理2可知曲面的亏格为，于是我们知道原闭曲面正是圆环面. 所以三叶结的Seifert同胚于圆环面挖去一个圆盘.

在文章《拓扑学究竟是一种什么样的学科？》中我们举了圆环面挖去一个圆盘同胚于两条平环相交的例子，读者可以试着画出从三叶结Seifert到前者的连续形变图.

参考文献

[1] Adams C C , Govindarajan T R . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots[J]. Phys. Today, 1995.

[2] Rolfsen D . Knots and links. Publish or Perish, 1976

[3] Massey W S . Algebraic topology:an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.