斜度与r连接怎么计算(一道高中几何题-求三角形的一个角度)
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斜度与r连接怎么计算(一道高中几何题-求三角形的一个角度)
一道高中几何题-求三角形的一个角度
在三角形ABC中，若O是三角形ABC的外心，H是三角形ABC的垂心，并且有AO=AH，求角∠BAC的大小。
解：此题如从存粹几何角度引辅助线，一时不能想出方法，可以尝试直接计算AO和AH的长度，然后根据角度关系，看看能否算出角BAC的大小。因此下面的过程用到正弦定理和三角关系。
在正弦定理中有：
a/sinA=b/singB=c/sinC =2R , 其中R是三角形ABC的外接圆的半径,, a, b, c对应三角形的三个边。
这样R=c/(2sinC)
现在设法求出AH的长度，如图， M是经过垂心的垂足，N是BC上的垂足，
在直角三角形ABM，直角边AM通过三角形的直边和斜边的关系有：
AM=c cos∠BAC
而在三角边AHM中， 也存在直边与斜边的关系：
AH=AM/sin∠AHM
在四边形HMCN中由于有两个角是直角，对角和为180°，所以该四边形是圆内接四边形，因此∠AHM=∠C （圆内接四边形的一个内角等于其对角的外角），所以：
AH=AM/sin∠AHM
=AM/sin∠C
= c( cos∠BAC)/ sin∠C
前面根据正弦定理有AO= R=c/(2sinC)
所以 AH=AO， 即：
c( cos∠BAC)/ sin∠C=c/(2sinC)
由此得出：
cos∠BAC=1/2
因此求出∠BAC=60°
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