数学思维灵活性训练(高考数学复习如何做到“知己知彼”)

Posted 2023-05-27

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数学思维灵活性训练(高考数学复习如何做到“知己知彼”)

来源：【中国教育新闻网】

■本期聚焦·高考数学复习备考策略

很多人将高考考场比作战场。我们如何才能打赢这场战争呢？《孙子兵法》中有句名言：“知彼知己，百战不殆；不知彼而知己，一胜一负；不知彼不知己，每战必殆。”高考数学复习亦是如此。

教师要研究高考，辩证认识试题的“稳”与“新”

教师必须深入了解高考，这是高三复习的前提和基础。目前教师了解高考信息的主渠道是教育主管部门组织的教研活动和学校的内部传达。除此之外，教师还应根据自身实际情况对所属学科高考进行研究。以数学学科为例，教师应通过如下三个途径增进对数学高考的认知。

一是读政策文件，了解高考改革方向，避免小道消息满天飞。由“一核、四层、四翼”为主要内容的高考评价体系，明确了“为什么考、考什么、怎么考”的问题。高考数学科的功能定位为：发挥数学学科特点，以测试数学综合能力、发展数学核心素养为目标，通过创新试卷结构与试题形式，更好地实现立德树人、服务选才、引导教学的核心功能。

二是读文献材料，体会高考政策在数学科的具体要求。每年高考之后，教育部教育考试院都会第一时间“官宣”，《中国教育报》等专业媒体也会刊发分析试题的文章，教师在阅读时要有所思考，特别在考虑如何借鉴时要有所选择。高考命题有严格要求，要严格依据高中课程标准，确保内容不超范围、深度不超要求，教师在读文献材料时要心中有数。

三是研做真题，体会政策如何落实在题目中。对于近年高考真题，教师要反复做，通过解题理解考试对数学知识的具体要求，理解考试对学生能力的具体要求。整套做，有助于了解全卷的整体结构；分类做，有助于了解同类问题的呈现规律。

研究高考的重中之重，是要认识到试题“稳”在哪里，又“新”在哪里。

保持命题稳定，这是高考命题的基本要求。教师应通过做真题、研真题，对照课标和教材，理解高考数学科的知识体系与课程标准知识体系的一致性，理解教材中通过“归纳”“探索”等活动培养学生能力的设计与考试通过开放、探究问题考查学生能力的要求的一致性。

近年高考命题强调以情境作为考查内容和考查要求的载体，这是高考命题改革创新的一个重要方向。目前高考数学的试题情境分为课程学习情境、生活实践情境、探索创新情境。课程学习情境试题主要关注已有的知识基础和准确程度，具有稳定性。生活实践情境试题主要考查“去情境化”能力，要求考生会将具体情境化问题转化为常规的数学问题。探索创新情境试题，需要学生利用已有知识和技能，借助特殊与一般、归纳概括、类比，以及分类讨论、数形结合等思想方法，充分调动已有学习经验，分析问题解决问题。因此，新情境类题目虽然看起来新，但是解决新题的基础知识和基本方法，都是课程标准范围内的。

真正了解高考，教师要做到在稳定的题目中理解变化和发展；在创新的题目中理解知识和方法的基础性、灵活性，尤其是要体会高考考查要求的基础性、综合性、应用性和创新性是如何体现的。

教师要研究学生，因人制宜采取针对性指导策略

教师整天和学生在一起，但未必真正了解自己的学生。笔者曾做过一项调查，对于一道难度系数为0.85（理论上难度系数大于0.75的题目较为简单）的高考数学题，被调查的不同学校数学教师中，认为难和比较难的超过40%。这显然和学生的作答情况不符。

课堂教学中也会出现类似的情况。笔者听过一节高三一模试卷讲评课，重点是复习立体几何的内容。教师设定的教学目标为：“理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用。”教学重点为分析试卷中解答题的解答思路。授课中，教师带领学生复习用向量法计算空间角的相关公式，再讲解试卷中的立体几何综合题。我们在听课中发现学生对于公式非常清楚，此题出现错误的原因是在建立空间直角坐标系的过程中出错，再细分析，是由于立体图形底面是不规则的四边形，学生对于垂直关系的理解有误。显然教师本节课的教学目标和教学重点，没有找准问题所在，与学生的实际情况不符。

教师应针对学生群体的不同特点进行有针对性的指导。笔者曾对某学校普通班与实验班的学生学习情况进行调研，发现了很多“意想不到”的结果。比如课后复习，按要求对知识进行整理、画出知识网络图、认真整理错题并规范书写正确过程的学生比例，普通班高于实验班；实验班的学生“只在头脑中简单回顾当天所学内容”的比普通班学生多，更多学生习惯于在错题旁边写出思路要点、想清楚错误原因。高三教师在关注学习成绩的基础上，要充分了解学生的学习态度、学习动机、学习习惯等，及时调整指导策略。

学生个体的差异客观存在，这就要求教师反思前面两年半的教学情况，帮学生进行定位。高考作为大规模常模测试，关注的是学生整体排名。学生个体在选考时，要综合考虑自己的爱好、特长等因素，在制订复习计划和努力目标时，也要综合考虑自己的实际情况，想清楚在有限的时间和精力下，哪个学科（部分）提高的可能性更大、提高的速度更快。

高三教师要增进对学生的了解，不仅仅是在课堂教学中多关注学生，也包括课后与学生多交流。高三复习，学生感觉压力大，教师是学生在学习方面最信赖的人，教师要及时了解学生的学习状态、遇到的困难，及时提供帮助，答疑解惑，进行心理疏导等。教师可以通过重点跟进、及时明示、激励评价等方式提高学生的心理素质，培养学生科学态度和理性精神，让学生在考场中尤其是在遇到难题时，能够冷静思考、大胆猜想、严谨论证。

教师要研究复习方法，注重提升学生数学思维水平

近年，为了“秒杀”某类（或者某道）高考题，有人建议高三复习时拓展一些高中数学知识，甚至建议增加高等数学、竞赛数学中的内容。如果一些学生确实学有余力，适度拓展学习内容也符合课标的理念；但对于大多数学生而言，学习并掌握这些新内容需要时间和精力，会增加学习的压力和负担，这些新内容今后的使用频率不高，高考复习中拓展知识内容确实需要慎重。

我们更应该重视高三复习课的精准和务实。有的教师严格按照高考要求进行教学，“考什么讲什么”“怎么考怎么讲”，直接把高考对某个内容的要求作为一节课的教学目标，并不十分科学。在复习课中，课时目标不求多、不求全，要精准、明确、具体，教学过程中要重落实、重指导、重生成。

对于学生在复习中出现的问题，教师要给出具体的方法。比如前面提到的那节高三试卷讲评课，教师应引导学生画出立体几何图形底面的平面图（而不是立体图），在平面图中标出位置关系和数量关系，再分析其中点、线的位置关系，或者将不规则的立体图形补成熟悉的长方体，借助长方体分析其中各元素之间的位置关系等，同时要有相应的变式题目进行练习和巩固。对于学生出现的问题，教师要有具体的方法指导和示范，尤其是对于计算错误这种典型问题，很多教师只是反复强调“要认真”“多练习”，这种表达太空泛了，学生主观上一定是认真的，也会努力的，如果没有找到算错的原因，没有恰当的方法，“多练习”可能就是在强化错误，适得其反。

教师要帮助学生建立知识间的联系。丰富的联系不仅能帮助学生理解内容，而且不容易忘记。对于创新题和难题，教师一定要讲自己的思考过程，包括在解决问题过程中遇到的困难以及是如何解决的，解决的过程中出现过哪些新的问题，甚至自己走的弯路，等等。通过教师的示范，尤其是展示思考过程，让学生体会到“当我们不知道做什么的时候怎么做”。

教师要提高学生数学思维的参与度。思维参与的深度和广度直接影响着解题效率。强调数学思维的参与，不仅仅是让学生用更多的时间来学习数学，更重要的是通过发现问题、解决问题，加深对客观世界的数量关系和空间形式的本质的一般性认识。

第一轮复习时，一题多解是常见的帮助学生建立知识间的联系、培养发散思维的方法。第二轮复习时，多解归一、多题归一更是数学内容、数学方法的一般性的概括，能促成对通性通法更上位的理解。在复习过程中，教师要注重培养学生的数学概括、数学抽象、数学推理、数学化归，以及数学的符号化表达能力，拓展思维参与的深度和广度，提高数学思维的灵活性。

无论课上还是课下，教师都要不断促进学生自我反思和调整，不断加强学习方法和考试策略的指导。比如高三第二轮复习，不仅要让学生从答题者角度进行反思（解答过程中需要注意什么？），还应让学生换位思考，从出题人的视角分析整套试卷（每个题目考查了哪些知识？考查了哪些方法？试卷的整体结构是什么样的？参考答案中为什么选择了这个解答方法？），甚至可以从阅卷教师的角度分析标准答案（评分标准的确定依据是什么？如何规范书写？）。

无论基础题还是创新题，高三复习时都要有具体的策略。每年的高考命题都是稳中有新，因此要有适度的练习和适度的形式化，但是千万不要僵化。

（作者系北京教育学院教授、数学与科学教育学院副院长、数学教育研究中心主任）

作者：刘春艳

《中国教育报》2023年02月10日第3版版名：课程周刊

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