数学圆周率兀(圆周率已算至628万亿位为何要算这么多？若能算尽，会发生啥？)

Posted 2023-05-27

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数学圆周率兀(圆周率已算至628万亿位为何要算这么多？若能算尽，会发生啥？)

如果问你最早接触的数学常数是啥？想必很多人都会脱口而出：圆周率！

没错，圆周率在小学期间就已经被我们所熟知，简单来讲，不论是多大面积的圆，它们都有一个共同点，那就是周长与直径的比值都为一个常数，这就是圆周率π，而且它还是一个无理数，也就是无限不循环小数。

圆周率历史

数学史上有很多关于计算圆周率的记载，对于我们来讲，最熟知的莫过于“祖冲之计算圆周率”，这位南北朝时期的数学家，第一次将圆周率精确到小数点后7位，并且这一记录领先了西方近千年之久。

不过我们感兴趣的是祖冲之是用的什么办法去求的圆周率呢？实际上，他所用的办法正是魏晋时期的大数学家刘徽所提出的“割圆术”，其书中的原话是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

简单来讲就是用一个多边形去逼近圆形，多边形的边越多，那么就越接近圆（以现代的眼光看来，其本质就是微积分中的极限思想）。

割圆术本质上是一种几何法，但随着数学的进步，出现了更为方便精准的分析法，比如无穷级数等，给出了很多圆周率数值表达式。

再往后随着计算机的出现，圆周率计算的位数更是直接呈几何式的翻倍。

比如在2021年8月5日，瑞士的科研人员宣布他们利用一台超级计算机，耗时108天零9个小时，算出了圆周率小数点后62.8万亿位，这是一项新的世界记录，不过他们也表示，这项纪录可能不会保持太久。

因为在此之前的2020年以及2019年，分别有人创造了50万亿位和31.4万亿位的记录。2020年的是由一位爱好者利用个人电脑，耗时303天，算出了50万亿位。而2019年的是由谷歌云计算系统耗时121天，算出了31.4万亿位，准确来说是小数点后 31415926535897 位，目的为了纪念那年3月14日的国际圆周率日。

为何要算那么多？

如果说古时候的数学家计算圆周率是为了寻找更多数学性质，毕竟那时候的数学远不及现在丰富深厚。但是自从1761年，德国数学家兰伯特证明了圆周率为无理数（也就是无限不循环小数）。

以及1882年，也是德国数学家林德曼证明了圆周率为超越数（即不能作为有理系数多项式根的实数，由此可以知道古希腊时期，想靠直尺和圆规完成“化圆为方”是不可能的）之后，似乎再疯狂追求圆周率的位数就成了一件无用的事情？

但自从计算机出现后，人们对于圆周率位数的计算反而更加“疯狂”了，为何呢？难道是因为圆周率越精确，越有利于科学研究或者实际生活使用？并不是，实际上圆周率用到几十位，就已经非常精确了。

但人们还一直计算圆周率的原因，其实很简单：能在更短时间内算出更多的位数，这种高精度的计算是判断一台计算机处理能力是否优秀的手段之一。

若能算尽，会发生啥？

如果圆周率哪一天被证实能算尽了，会发生啥事呢？估计不少朋友都曾想过这样的问题。

但实际上，在通常情况下，这种情况是不会出现的，因为圆周率是无理数这一结论是通过严格的数学证明给出的，拔出萝卜带出泥，如果圆周率真被算尽了，那将是数学大厦的一场大地震。（考虑到数学不同于自然学科，它不需要对应客观世界的实体存在，也就是说，数学是一个放之四海而皆准的东西）

但是请注意，这个结论有一个前提，就是上段头所言的“通常情况”，那么这个通常情况到底是个啥呢？

欧氏与非欧几何

很简单，我们现在所熟知的圆周率数值3.14159......，实际上是建立在欧几里得几何体系之内的。

啥是欧几里得几何？很简单，就是我们中小学时期所学的几何，比如过直线外一点，只能做出一条平行线（平行公设）

再比如，三角形内角和为180度等等，有这些结论的都是欧几里得几何。

但随着数学的发展，人们发现，这种几何体系虽然和现实世界十分相符，但似乎并不唯一，于是人们就以刚才那条平行公设为切入点，又发现了两种新几何（非欧几何），分别是罗氏几何和黎氏几何，在这些几何当中，三角形的内角和不再是180度、圆周率也不再是一个固定值了。

后来经过黎曼的努力，三种几何统一成了黎曼几何，这也是后来爱因斯坦的广义相对论所要用到的数学理念。

为了形象地介绍在不同几何环境下，圆周率的变化，下面就以相对论为背景，来说明这个问题。

爱因斯坦转盘内的圆周率

1909年，爱因斯坦的好友保罗·埃伦费斯特在《物理杂志》上发表了一篇简短地只有两面纸不到的论文，标题为《刚体的匀速转动与相对论》（注意，此时广义相对论还没问世，只有狭义相对论）。

论文提出了这样一个“简单”的问题：如果有一个匀速转动的圆盘，我站在外面用量尺去测量圆盘周长，以及站在圆盘上用量尺去测量圆盘周长，试问结果如何？

这个问题看上去非常简单，根据狭义相对论，运动的物体会在运动方向上收缩，也就说如果在圆盘静止时，在其周边摆放上一圈量尺（比如一根量尺长度一厘米，就这样摆一圈，当然了，量尺越短越好，因此那样就无限逼近圆形周长了），之后圆盘匀速转动，由于运动尺缩，圆盘上原本首尾相连的量尺，竟然出现了空隙，而圆盘的周长是由量尺数量决定的，因此这也就说明圆盘周长变长了。

注意，上面这段话是比较笼统的说法，用于科普是没有问题的，细究的话还要细分，不过最后的结论是正确的，也就是转盘系测量的周长要大于地面系。（如果有了解相对论的朋友，应该对于下面给出的空间线元不陌生，这就是结论的依据）

这时候我们发现，圆盘周长变长了，但直径却没有变化，那岂不是说圆周率变大了吗？而且圆周率的数值与转盘速度挂钩了，理论上，圆周率直接可以变为整数！不过这没有什么好奇怪的，因为转盘空间已经不符合欧氏几何的要求，而是属于非欧几何了。

弯曲时空下的圆周率

实际上，按照广义相对论的要求，我们现实世界中的圆周率其实原本就不是3.14159......这样的数值，因为现实世界很难找到严格意义上的欧氏空间，但凡空间里存在一个物体，那么就不属于欧氏空间了。

原因很简单，因为广义相对论将引力解释为时空弯曲，以最简单的史瓦西时空而言，单独把空间线元拎出来，你会发现它长下面这个模样

很明显，如果画一个圆，其半径方向上的空间是非欧的，也就是半径是个变量，与引力源的质量能量分布相关，由此可见，圆周率自然也是一个变量了。

总结

由此可见，欧氏几何中的圆周率是不能被算尽的，是一个无理数，如果能被算尽，只能说明我们现在用的数学体系要修改了。

而在非欧几何中的圆周率则大有不同，能不能算尽，得看具体情况，总之这就和非欧几何中三角形内角和不为180度一样，熟悉之后，也就没什么好奇怪的了，更不会发生啥事。而且依据广义相对论，非欧几何才符合真实宇宙，而欧氏几何只是非常接近于真实宇宙而已。

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