手腕带彩图加工印刷机(100万，你数得完嘛？)

有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字大谁赢。

“好，”一个贵族说，“你先说吧！”

另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3”。

现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦！”

这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说，这很可能只是一个挖苦人的故事而已。然而，如果上述对话是发生在原始部族中，这个故事大概就完全可信了。有不少非洲探险家证实，在某些原始部族里，不存在比 3 大的数词。如果问他们当中的一个人有几个儿子，或杀死过多少敌人，那么，要是这个数字大于 3，他就会回答说“许多个。 ”因此，就计数这项技术来说，这些部族的勇士们可要败在我们幼儿园里的娃娃们的手下了，因为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！

现在，我们都习惯地认为，我们想把某个数字写成多大，就能写得多大——战争经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦，等等——只要在某个数字的后面接上一串零就是了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸为止。这样，尽管目前已知的宇宙中所有原子的数目已经很大， 等于 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000，但是，你还可以写出比这更大的数目来。

上面这个数可以改写得短一些，即写成

在这里，10的右上角的小号数字74表示应该写出多少个零。换句话说，这个数字意味着3要用10乘上74次。

但是在古代，人们并不知道这种简单的“算术简示法” 。这种方法是距今不到两千年的某个佚名的印度数学家发明的。在这个伟大发明——这确实是一项伟大的发明，尽管我们一般意识不到这一点——出现之前，人们对每个数位上的数字，是用专门的符号反复书写一定次数的办法来表示的。例如，数字 8732 在古埃及人写来是这样的：

而在凯撒（Julius Caeser）的衙门里，他的办事员会把这个数字写成：

MMMMMMMMDCCXXXII

这后一种表示法你一定比较熟悉，因为这种罗马数字直到现在还有些用场——表示书籍的卷数或章数啦，各种表格的栏次啦，等等。不过，古代的计数很难得超过几千，因此，也就没有发明比一千更高的数位表示符号。一个古罗马人，无论他在数学上是何等训练有素，如果让他写一下“一百万” ，他也一定会不知所措。他所能用的最好的办法，只不过是接连不断地写上一千个M，这可要花费几个钟点的艰苦劳动啊。

在古代人的心目中，那些很大的数目字，如天上星星的颗数、海里游鱼的条数、岸边沙子的粒数等等，都是“不计其数”，就像“5”这个数字对原始部族来说也是“不计其数”，只能说成“许多”一样。

阿基米德（Archimedes），公元前 3 世纪大名鼎鼎的大科学家，曾经开动他那出色的大脑，想出了书写巨大数字的方法。在他的论文《计沙法》中这样写着：

有人认为，无论是在叙拉古，还是在整个西西里岛，或者在世界所有有人烟和无人迹之处，沙子的数目是无穷大的。也有人认为，这个数目不是无穷大的，然而想要表达出比地球上沙粒数目还要大的数字是做不到的。很明显，持有这种观点的人会更加肯定地说，如果把地球想像成一个大沙堆，并在所有的海洋和洞穴里装满沙子，一直装到与最高的山峰相平，那么，这样堆起来的沙子的总数是无法表示出来的。但是，我要告诉大家，用我的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙子的数目，甚至还能表示出占据整个宇宙空间的沙子的总数。

阿基米德在这篇著名的论文中所提出的方法，同现代科学中表达大数目字的方法相类似。他从当时古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引进一个新数“万万”（亿）作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶单位），等等。

写个大数字，看来似乎不足挂齿，没有必要专门用几页的篇幅来谈论。但在阿基米德那个时代，能够找到写出大数字的办法，确实是一项伟大的发现，使数学向前迈出了一大步。

为了计算填满整个宇宙空间所需的沙子总数，阿基米德首先得知道宇宙的大小。按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星星的水晶球。阿基米德的同时代人，著名的天文学家，萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）求得从地球到天球面的距离为10 000 000 000 斯塔迪姆，即约为1 000 000 000 英里。

阿基米德把天球和沙粒的大小相比，进行了一系列足以把小学生吓出梦魇症来的运算，最后他得出结论说：

    很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的沙子粒数，不会超过一千万个第八阶单位。

这里要注意，阿基米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得多。十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离。以后我们将看到，在望远镜里，宇宙的边缘是在5 000 000 000 000 000 000 000英里的地方，要填满这样一个已被观测到的宇宙，所需要的沙子数超过

   这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数大多了，这是因为宇宙间并非塞满了原子。实际上，在一立方米的空间内，平均才只有一个原子。 要想得到大数目字，并不一定要把整个宇宙倒满沙子，或进行诸如此类的剧烈活动。事实上，在很多乍一看来似乎很简单的问题中，也常会遇到极大的数字，尽管你原先决不会想到，其中会出现大于几千的数字。

有一个人曾经在大数目字上吃了亏，那就是印度的舍罕王（Shirham）。根据古老的传说，舍罕王打算重赏象棋的发明人和进贡者，宰相西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir）。这位聪明大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有 64 格的麦粒，都赏给您的仆人罢！ ”

“爱卿。你所求的并不多啊。 ”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的。 ”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座前。 计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒，……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也兑现不了他对西萨·班·达依尔许下的诺言了，因为这需要有18 446 744 073 709 551 615 颗麦粒呀！

这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，不过也已经够可观了。1 蒲式耳小麦约有5 000 000 颗，照这个数，那就得给西萨· 班·达依尔拿来4万亿蒲式耳才行。这位宰相所要求的，竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦！

这么一来，舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。什么办？要么是忍受西萨·班·达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。据我猜想，国王大概选择了后面这个办法。 另一个由大数目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的。偏爱数学的历史学家鲍尔（Ball）是这样讲述这段故事的：

   在世界中心贝拿勒斯的圣庙里。安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。每根针高约1腕尺（1腕尺大约合20英寸）。像韭菜叶那样粗细。梵天在创造世界的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的 64 片金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大片的上面。当所有 64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

按故事的情节所作的画，只是金片少画了一些。你不妨用纸板代表金片，拿长钉代替宝石针，自已搞这么一个玩具。不难发现，按上述规则移动金片的规律是：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需一次，下一片就按几何级数加倍。这样，当把第64片也移走后，总的移动次数便和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数一样多了！

把这座梵塔全部64片金片都移到另一根针上，需要多长时间呢？一年有31 558 000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停，节假日照常干，也需要将近 5800 亿年才能完成。

把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约30亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星，特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100亿~150 亿年（见“创世的年代”一章） 。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于 200 亿年，而不像这个印度传说中所宣扬的那样长！不过，传说毕竟只是传说啊！

在文学作品中所提及的最大数字，大概就是那个有名的“印刷行数问题”了。

假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字，并且每一行都能自动换一个字母或其他印刷符号，从而变成与其他行不同的字母组合。这样一架机器包括一组圆盘，盘与盘之间像汽车里程表那祥装配，盘缘刻有全部字母和符号。这样，每一片轮盘转动一周，就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸张通过滚筒自动送入盘下。这样的机器制造起来没有太大的困难。

现在，让我们开动这架印刷机，并检查印出的那些没完没了的东西吧。在印出的一行行字母组合当中，大多数根本没有什么意思，如：

aaaaaaaaaaaa…

或者

boobooboobooboo…

或者

zawkpopkossscilm…

但是，既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合，我们就能从这堆玩艺儿中找出有点意思的句子。当然，其中又有许多是胡说八道，如：

horse has six legs and…（马有六条腿，并且……）

或者

I like apples cooked in terpentin…

（我喜欢吃松节油煎苹果……）。

不过，只要找下去，一定会发现莎士比亚（William Shake-

spare）的每一行著作，甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子！

实际上，这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子：每一句散文，每一行诗歌，每一篇社论，每一则广告，每一卷厚厚的学术论文，每一封书信，每一份订奶单……

不仅如此，这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。从滚筒下的纸卷中，我们可以读到30世纪的诗章，未来的科学发现，2344年星际交通事故的统计，还有一篇篇尚未被作家们创作出来的长、短篇小说。出版商们只要搞出这么一台机器，把它安装在地下室里，然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了——他们现在所干的不也差不多就是这样嘛！

为什么人们没有这样干呢？

来，让我们算算看，为了得到所有字母和印刷符号的组合，该印出多少行来。

英语中有26个字母、十个数码（0，1，2，…，9）、还有14个常用符号（空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共50个字符。再假设这台机器有65个轮盘，以对应每一印刷行的平均字数。印出的每一行中，排头的那个字符可以是50个字符当中的任何一个，因此有50种可能性。对这50种可能性当中的每一种，第二个字符又有50种可能性，因此共有50×50＝2500种。对于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符仍有50种选择。这样下去，整行进行安排的可能性的总数等于

或者 50(65)，即等于10(110)。

要想知道这个数字有多么巨大，你可以设想宇宙间的每个原子都变成一台独立的印刷机，这样就有3×10(74)部机器同时工作。再假定所有这些机器从地球诞生以来就一直在工作，即它们已经工作了30亿年或10(17)秒.你还可以假定这些机器都以原子振动的频率进行工作，也就是说，一秒钟可以印出10(15)行。那么，到目前为止，这些机器印出的总行数大约是

   这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。

看来，想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么，那确实得花费非常非常长的时间了！

via：《从一到无穷大》

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