怎样证明线线垂直(利用空间向量证明平行与垂直,用向量证明立体几何问题有两种思路)

Posted

篇首语:登山则情满于山,观海则意溢于海。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了怎样证明线线垂直(利用空间向量证明平行与垂直,用向量证明立体几何问题有两种思路)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

怎样证明线线垂直(利用空间向量证明平行与垂直,用向量证明立体几何问题有两种思路)

【考试要求】

1.理解直线的方向向量及平面的法向量;

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理;

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;

5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题;

6.并能描述解决夹角和距离的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【知识梳理】

1.直线的方向向量和平面的法向量

【微点提醒】

1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.

3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cos θ=|cos〈a,n〉|.

4.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.

【规律方法】

(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【规律方法】

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

(2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.

②线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.

考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

角度1 与平行有关的探索性问题

【规律方法】 解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点:①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标为0,如xOy面上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);④直线(线段)AB上的点P,可设为=λ,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算.

【反思与感悟】

1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.

2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

3.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:(1)有三条两两垂直的直线;(2)有线面垂直;(3)有两面垂直.

【易错防范】

1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.

相关参考

恒定流和均匀流(2019注册土木(道路工程)公共基础考试大纲及题型分值)

...量的线性运算;向量的数量积、向量积及混合积;两向量垂直、平行的条件;直线方程;

毛毡植物墙(花园里也有垂直绿化?利用绿墙打造个性化的庭院吧)

...以让你的花园看起来更加漂亮。当然不止是小花园,这种垂直绿化的几乎可以适应任何一个花园,无论是小院子还是大草坪,绿墙都会让你的空间得到充分利用。垂直绿化是将绿色植物引入我们花园并使空间焕然一新的好方法,...

法线是什么意思,抛物线的法线是什么意思

1、法线,是指始终垂直于某平面的虚线。曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线,曲面上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的那条直线(即向量)。2、在物理学中,过入射点垂直于镜面的直线叫做法...

法线是什么意思,抛物线的法线是什么意思

1、法线,是指始终垂直于某平面的虚线。曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线,曲面上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的那条直线(即向量)。2、在物理学中,过入射点垂直于镜面的直线叫做法...

水包水涂料施工(在水包水外墙施工中,怎样做到喷涂均匀?)

...涂装的朋友,很多会遇到这样的问题,水包水多彩涂料,怎样才能喷的均匀呢? 水包水多彩涂料大多使用喷枪来进行喷涂,对于施工操作,也会因为喷枪的使用不当造成涂层的分布不均,下面就一起来看看其解决方法吧。喷涂...

怎样测量45度弯头垂直高度(二建机电复习笔记(建筑机电工程施工技术——管道工程))

一:建筑管道工程的划分【建筑管道工程的分部工程:建筑给水排水及供暖工程】【建筑管道工程的子分部工程:室内给水系统,室内排水系统,室内热水供应系统,卫生器具,室内供暖系统,室外给水管网,室外排水管网,室...

如何证明平行宇宙存在

你有没有在某一个瞬间觉得眼前这个未曾经历过的画面四层相识,就如你经历过一般?相信很多小伙伴都有这样的体验,有人说,这是另一个时空的自己经历过的,当它再次出现,就会形成一种感应。这种说法有些玄幻,但是喜...

如何证明平行宇宙存在

你有没有在某一个瞬间觉得眼前这个未曾经历过的画面四层相识,就如你经历过一般?相信很多小伙伴都有这样的体验,有人说,这是另一个时空的自己经历过的,当它再次出现,就会形成一种感应。这种说法有些玄幻,但是喜...

如何证明平行宇宙存在

你有没有在某一个瞬间觉得眼前这个未曾经历过的画面四层相识,就如你经历过一般?相信很多小伙伴都有这样的体验,有人说,这是另一个时空的自己经历过的,当它再次出现,就会形成一种感应。这种说法有些玄幻,但是喜...

日本三丰百分表(杠杆表你了解吗?)

...分类根据表盘安装方向和使用用途,杠杆表分为水平型、垂直型、倾斜型、平行型、通用型以及袖珍型等几种类型。水平型水平型杠杆表为标准型号,使用者的视线和表盘水平读数。水平型使用者视线垂直型垂直型杠杆表的表盘...