强力压球机原理(高中物理系列模型之对象模型5弹簧模型)

一、模型界定

本模型是由弹簧连接的物体系统中关于平衡的问题、动力学过程分析的问题、功能关系的问题，但不包括瞬时性的问题。由弹性绳、橡皮条连接的物体系统也归属于本模型的范畴．

二、模型破解

1.由胡克定律结合平衡条件或牛顿运动定律定量解决涉及弹簧弹力、弹簧伸长量的问题。

（i）轻质弹簧中的各处张力相等，弹簧的弹力可认为是其任一端与所连接物体之间的相互作用力。

（ii）弹簧可被拉伸，也可被压缩，即弹簧的弹力可以是拉力也可以是推力（当然弹性绳、橡皮条只能产生拉力）。

（iii）弹簧称只能被拉伸，对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力时，其示数等于称钩一端与物体之间的拉力大小。

（iv）有时应用

比应用

更便于解题。

（v）定性比较同一弹簧的形变量大小时也可从弹性势能大小作出分析。

例1.如图1所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上。②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用。③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动。④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l₁、l₂、l₃、l₄依次表示四个弹簧的伸长量，则有

例2.如图所示,A、B两物体的重力分别是G_A=3 N,G_B=4N,A用细绳悬挂在天花板上,B放在水平地面上,连接A、B间的轻弹簧的弹力F =2 N,则绳中张力T及B对地面的压力N的可能值分别是

A.7 N和2 N B.5 N和2 N C.1 N和6 N D.2 N和5 N

例3.实验室常用的弹簧秤如图甲所示，连接有挂钩的拉杆与弹簧相连，并固定在外壳一端O上，外壳上固定一个圆环，可以认为弹簧秤的总质量主要集中在外壳（重力为G）上，弹簧和拉杆的质量忽略不计，现将该弹簧秤以两种方式固定于地面上，如图乙、丙所示，分别用恒力F₀竖直向上拉弹簧秤，静止时弹簧秤的读数为

A．乙图读数F₀－G，丙图读数F₀+G

B．乙图读数F₀－G，丙图读数F₀

C．乙图读数F₀，丙图读数F₀－G

D．乙图读数F₀＋G，丙图读数F₀－G

例4.质量不计的弹簧下端固定一小球.现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a(a<g)分别向上、向下做匀加速直线运动.若忽略空气阻力,弹簧的伸长分别为x₁、x₂；若空气阻力不能忽略且大小恒定,弹簧的伸长分别为x₁′、x₂′,

A.x₁′+x₁=x₂′+x B.x₁′+x₁<x₂+ x₂′

C.x₁′+x₂′=x₁+x₂ D.x₁′+x₂′<x₁ + x₂

例5.一根轻质弹簧一端固定，用大小为F1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l1；改用大小为

F2的力拉弹簧，平衡时长度为l2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹 簧的劲度系数为

例6.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ ）

A．圆环机械能守恒

B．弹簧的弹性势能先增大后减小

C．弹簧的弹性势能变化了mgh

D．弹簧的最大压缩量必大于其最大拉伸量

模型演练

1.如图所示，质量均为m的两个小球，分别用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止时弹簧是水平的，若两根细线之间的夹角为α，则弹簧的形变量为

2． 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是

A． 先减小后增大

B． 先增大后减小

C． 一直增大

D． 保持不变

3.如图所示，质量m=10kg和M=20kg的两物块，叠放在光滑水平面上，其中物块m通过处于水平方向的轻弹簧与竖直墙壁相连，初始时刻，弹簧处于原长状态，弹簧的劲度系数k=250N/m．现用水平力F作用在物块M上，使其缓慢地向墙壁移动，当移动40cm时，两物块间开始相对滑动，在相对滑动前的过程中，下列说法中正确的是

A．M受到的摩擦力保持不变

B．物块m受到的摩擦力对物块m不做功

C．推力做的功等于弹簧增加的弹性势能

D．开始相对滑动时，推力F的大小等于200N

4.如图所示，一个竖直放置在地面上的长方体框架，其质量为M，轻质弹簧将两个小物块P和Q顶在框架的上下两端，P、Q的质量均为m，而此时P对顶板的压力为0.5mg （ ）

A．此时Q对底板的压力为1.5mg

B．此时框架对地面的压力为M－0.5mg

C．若整个装置做自由落体运动，P和Q对框架的压力均为零

D．若整个装置做自由落体运动，P和Q对框架的压力均为1.5mg

5.如图所示，OA为一遵从胡克定律的橡皮条，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连，当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用，B为紧靠绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离OB等于弹性橡皮条的自然长度，现用一水平力F作用于A，使之向右做直线运动，在运动过程中（在弹性限度内）作用于A的摩擦力应( )

A.逐渐增大 B.逐渐减小

C.保持不变 D.先增大后减小

6.图中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图并处于平衡状态。

A,有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态

B,有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态

C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态

D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态

2.由力与运动的关系分析物体的运动过程

（1）单振子振动系统

单振子系统是指弹簧一端连接物体、另一端固定的物理情景。

（i）物体受到的外力除弹簧的弹力外都是恒力时，物体的运动只能是变加速运动。

（ii）物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，当物体的加速度为零时速度最大；速度为零时加速度最大。

（iii）物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。

（iv）为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点。

（v）当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力，以保证物体所受的合力恒定。

（2）双振子系统

双振子系统是指轻质弹簧两端都边接着物体，两物体在外力作用下皆处于运动之中的物理情景。

（i）双振子系统中两物体的速度相等时物体间距离出现极值（最大或最小），弹簧的弹性势能达到最大，注意是速度相等而非速率相等时。

（ii）双振子系统中两物体的加速度相等时物体间的速度差值达到最大

（iii）双振子系统的运动过程分析也可结合速度图象，有时需利用动量定理、动量守恒、功能原理、能量守恒等进行辅助分析。

例7.如图所示，弹簧左端固定，右端自由伸长到O点并系住物体m，现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体一直可以运动到B点然后返回，如果物体受到的阻力大小恒定，则

例8.如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则

A．t1时刻小球动能最大

B．t2时刻小球动能最大

C．t2~t3这段时间内，小球的动能先增加后减少

D．t2~t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能

例9.质量相等的两木块A、B用一轻弹簧栓接，静置于水平地面上，如图甲所示。现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图乙所示。在木块A开始运动到木块B将要离开地面的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下述判断正确的是

A. 力F大小一直不变

B. 弹簧的弹性势能一直增大

C. 木块A的动能和重力势能之和先增大后减小

D. 两木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能一直增大

例10.如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大

D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

例11.如图所示，质量分别为m₁和m₂的两个小球A、B，带有等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上，突然加一水平向右的匀强电场后，两小球A、B将由静止开始运动，在以后的运动过程中，对两小球A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是(设整个过程中不考虑电荷间库仑力的作用且弹簧不超过弹性限度)

A．由于电场力对球A和球B做功为0，故小球电势能总和始终不变

B．由于两个小球所受电场力等大反向，故系统机械能守恒

C．当弹簧长度达到最大值时，系统机械能最大

D．当小球所受电场力与弹簧的弹力大小相等时，系统动能最大

例12.如图所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触。它的内部有一直立的轻弹簧。弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度。在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力。

模型演练

1.如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端，并向下压球，使弹簧压缩，用细线把弹簧栓牢，如图a．烧断细线，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，如图b．忽略空气阻力，从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中：

A．球的动能在刚脱离弹簧时最大

B．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小

C．球所受合力的最大值大于重力的值

D．系统机械能不变

2.某缓冲装置可抽象成图所示的简单模型，图中K₁、K₂为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧，下列表述正确的是

A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关

B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等

C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等

D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变

3.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是

A．运动员到达最低点前重力势能始终减小

B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加

C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关

4.如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中

A．重力先做正功，后做负功

B．弹力没有做正功

C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大

5.如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C．当A、B的速度相等时，B的加速度小于A的加速度

D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

6.两根足够长的金属导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则

A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g

B.金属棒的速度为v时，金属棒两端的电压U=BLv

C.金属棒的速度为v时，所受合外力的大小为F=B2L2V/R

D.电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少

3.涉及弹簧的弹性势能的定量计算

（i）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒。

（ii）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：

①位置的对称性

当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。

②位置变化的相同性

当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。

③弹性势能公式

当弹性势能公式E_p＝1/2(kx²⁾做为题设条件时可直接使用。

例13.有一倾角为θ的斜面，其底端固定一档板M，另有三个木块A、B和C，它们的质量分别为

，它们与斜面间的动摩擦因数都相同。其中木块B放于斜面上并通过一轻弹簧与档板M相连，如图所示，开始时，木块B静止于P处，弹簧处于原长状态，木块A在Q点以初速度v0向下运动，P、Q间的距离为L。已知木块A在下滑的过程中做匀速直线运动，与木块B相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块A向上运动恰好能回到Q点。若木块B仍静止放在P点，木块C从Q点处于开始以初速度

向下运动，经历同样过程，最后木块C停在斜面的R点。求：

（1）A、B一起压缩弹簧过程中，弹簧具有的最大弹性势能；

（2）A、B间的距离L\'

例14.如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x₀，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施 水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）

（1）如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？

（2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？

例15.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x₀的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.

例16.如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能E_p＝1/2kx².其中k为弹簧的劲度系数，x为其形变量．现有质量为m₁的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定，按住物块m₁，弹簧处于自然长度，在m₁的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩．现在将质量为m₂的小物体轻轻的挂在挂钩上．设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，释放m₁.求：

(1)m₁速度达最大值时弹簧伸长的长度；

(2)m₁的最大速度值．

模型演练

1.如图所示，A物体质量为m， B质量为2m，用一轻绳相连，将A用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止状态，此时弹簧的伸长量为x，弹性势能为E_p，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内。现将悬线剪断，则在以后的运动过程中，A物体的

2.如图所示，光滑水平面上的木板右端，有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M=3.0kg。质量m=1.0kg的铁块以水平速度v0=4.0m/s，从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为

A．3.0J B．6.0J

C．20J D．4.0J

3.如图所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上.然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为m_A、m_B，且m_A<m_B.求：

（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能E_p.

（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻.

4.如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带为+Q_A和+Q_B的电荷量，质量分别为ｍ_Ａ和ｍ_Ｂ。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。

（1）若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离ｈ

（2）若C的质量为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？