平面磨有直纹(美丽的肥皂泡，背后的数学也很有意思)

Posted 2023-05-25

篇首语：其实最美好的日子就是，我对你闹，你对我笑。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了平面磨有直纹(美丽的肥皂泡，背后的数学也很有意思)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

平面磨有直纹(美丽的肥皂泡，背后的数学也很有意思)

几乎每个人都吹过肥皂泡，甚至成年人也会很有兴趣地玩。2012 年9 月19 日，在温哥华，加拿大籍华裔泡泡艺术家杨范打破由他本人保持的吉尼斯世界纪录，将181 名参与者容纳在一个巨型肥皂泡中。

图1. 温哥华的容纳181 人的肥皂泡

2013 年5 月2 日，在莫斯科，一年一度的肥皂泡节在全俄会展中心举行，庆祝春天的到来。

图2. 参加莫斯科肥皂泡节的民众

2013 年8月23 日，在香港举行了“健力士世界纪录大开眼界”活动，特邀英国肥皂泡大师Samsam表演了最多肥皂泡弹跳、最长肥皂泡串、最大室内肥皂泡以及大泡套小泡等梦幻优美的技艺。

图3. 英国肥皂泡大师山姆在表演

除了好玩，肥皂泡也得到了高雅艺术的青睐。荷兰历史上最伟大的画家伦勃朗（Rembrandt van Rijn）和18 世纪的法国画家夏尔丹（Jean-Baptiste-Siméon Chardin）分别创作了世界名画《持肥皂泡的孩子》和《吹肥皂泡的少年》。

图4. 伦勃朗的油画《持肥皂泡的孩子》

事实上，肥皂泡还有重要的科学背景。2013 年，美国科学新闻网站www.Livescience.com 刊登出了由世界各国科学家们鼎力推荐的十大影响世界文明进程的“魅力方程”，极小曲面方程便在其中。“这个方程在某种程度上解释了人们吹出的那些肥皂泡的秘密。”美国数学家、首届美国国家杰出教学奖获得者Frank Morgan 在推荐时表示，这个非线性方程描述了美丽肥皂泡背后的数学。肥皂泡蕴含的极小曲面问题与偏微分方程、微分几何、复变函数、变分法、拓扑学等多个方向都有着十分重要的联系，向人们展示了曲面的美感和几何的魅力。

20 世纪50 年代，新设计学派提出的“极小曲面”理念开创了现代张拉膜结构设计的先河。基于这种理论，对于特定边界条件得到的膜结构表面积最小，从而耗能最少。这类膜建筑的主要结构特点是预应力在整个结构中均匀分布。例如，东京街头景观——极小曲面亭、纽约科学馆中的极小曲面华盖、德国boxel实验馆中有2000 多个啤酒箱组成的极小曲面和厦门园博园中的极小曲面建筑。

图6. 极小曲面方程

图7. 东京街头景观——极小曲面亭

图8. 纽约科学馆中的极小曲面华盖

图9. 德国boxel 实验馆中的“啤酒箱”极小曲面

图10. 厦门园博园中的极小曲面建筑

1.极小曲面及其方程

图11. 欧拉的《寻求具有极大或极小性质的曲线》

1744 年，有史以来最伟大的数学家之一欧拉出版了《寻求具有极大或极小性质的曲线》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes）（图11），这标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生。在该书中，欧拉提出了这样一个问题：求出在点(x0, y0) 和点(x1, y1) 之间的平面曲线y ＝ f(x)，使得它在绕x 轴旋转时所产生的曲面面积最小。欧拉证明了它必须是一段悬链线

其中c 是一个正常数。因其函数图像与悬挂在两点的绳子在均匀引力作用下自然下垂之形相似而称之为悬链线，悬链线生成的旋转面叫做悬链面。

1760 年，法国数学家拉格朗日以欧拉的思路和结果为依据，得到了更完善的结果。他的论文《关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法》（Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima etles minima des formules intégrales indéfinies）是用分析方法建立变分法的代表作。他发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”（the method of variation）。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”（the calculus of variation）。

在三维空间中考虑曲面M : z ＝ u(x, y)，(x, y) ∈ D，其中D 是平面上的一个光滑区域。拉格朗日利用他创立的变分法原理证明了：所有定义在D 上且在边界∂D上取相同值的光滑函数图像中，若曲面M 的面积最小，则u 满足极小曲面方程

我们下面对(1) 给出一个简单的证明。设Mt : z ＝ u(x, y) ＋ tv(x, y), (x, y) ∈ D,其中t ∈ ( － 1,1)，v 在边界∂D 上取值为0，则Mt 的面积

若A(M0) 的值最小，即A(Mt) ≥ A(M0)，则A(Mt) 在t ＝ 0 处取极小值A(M0)，从而

在(2) 式中对t 求导，再应用散度定理（即高维分部积分公式），注意到v 在边界∂D 上取值为0，并根据v 的任意性，可以得到

它也经常被求导展开，去掉分母，就可以写成方程(1)。

很显然，线性函数u(x, y) ＝ ax ＋ by ＋ c 是方程(1) 的一个解，也就是说，平面是一个极小曲面。当给函数u(x, y) 附加一些条件时，我们能够得到极小曲面方程的两个非线性函数的特解。

如果要求M 是一个旋转面，那么函数u(x, y) 可以表示成

其中h(r) 是待定的单变量函数。将u 的表达式代入(1) 式得到

解这个常微分方程，有

c 和c1 是任意常数。取c1 ＝ 0，则上面的表达式可以写成

这里的cosh 表示双曲余弦函数，此时M 就是悬链面。

图12. 悬链面

如果要求M 是一个直纹面，即由直线运动所产生的曲面，那么函数u(x, y)可以表示成

将u 的表达式代入(1) 式得到

解这个微分方程就可以得到

c 和c1 是任意常数。取c1 ＝ 0，则方程的解为

这就是正螺旋面。螺旋面是继平面、悬链面之后，人们知道的第三种极小曲面。

图13. 螺旋面

1776 年，画法几何创始人蒙日（Gaspard Monge）的学生、法国数学家莫尼耶（Jean Baptiste Meusnier, 1754-1793）给出了方程(1) 的几何解释：解曲面的平均曲率为零；证明了等高线是直线的极小曲面只有螺旋面，非平凡的旋转极小曲面只有悬链面。1842 年，比利时数学家卡塔兰（Eugène Catalan,1814-1894）证明了只有平面和螺旋面两种直纹极小曲面。

经典极小曲面的例子除悬链面、螺旋面外，还有Scherk 曲面(1834)、Enneper 曲面(1863)、 Gyroid 曲面(1970) 与Costa 曲面(1982) 等1, 2。

2.极小曲面的Weierstrass 公式

1866 年，德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）发现了用复变函数给出的极小曲面方程的通解，从本质上揭示了极小曲面与全纯函数、亚纯函数之间的联系。他证明了曲面是极小曲面等价于它的坐标是等温参数（使曲面第一基本形式中的E ＝ G，F ＝ 0 的参数）的调和函数。

设M ：r ＝ r(u, v) 是以(u, v) ∈ D 为等温参数的极小曲面，且不是平行于xy- 坐标面的一块平面，则存在D 上的全纯函数f 和亚纯函数g，f 的零点集和g 的极点集是重合的，f 的零点阶数等于该点作为g 的极点阶数的倍，使得曲面M 的参数方程r(u, v)，w ＝ u ＋ iv，可以表示为

反过来，任意满足上述条件的全纯函数f 和亚纯函数g，只要(3)式右侧的积分没有实周期性，它便可以给出以(u, v) 为等温参数的极小曲面。(3) 被称为魏尔斯特拉斯公式，给出了三维空间中极小曲面方程的通解。

下面通过魏尔斯特拉斯公式写出几个经典的极小曲面。

(1) 悬链面取D ＝ C ，f(w) = ew，g(w) = e-w。按照公式(3)，得到

这正好是悬链面(x ＋ 1)2 ＋ y2 ＝ cosh2z 的参数方程。

(2) 正螺旋面设D ＝С ，f(w) ＝－ iew，g(w) ＝ e-w，可以得到

这正好是正螺旋面z = c⋅ arctan x/y 的参数方程。

悬链面和正螺旋面都定义在复平面 上，且拥有同样的函数g 和只相差一个－ i 因子的函数f，因此这两个曲面有相同的参数值(u, v) 的点之间的对应给出了曲面之间的等距对应。我们也可以从直观上感觉到悬链面和正螺旋面之间存在着密不可分的联系。如果我们沿着一条经线剪开，就可以将悬链面拧成正螺旋面的一截。

图14. 悬链面变成正螺旋面

(3) Enneper 曲面设D ＝ С，f(w) ＝ 2，g(w) ＝ w 则(3) 给出

这组方程给出的曲面叫做Enneper 曲面，是由德国数学家Alfred Enneper 在1863 年发现的。当u2 + v2 ≥ 3 时，Enneper 曲面有自交现象。

图15. 单位圆内的Enneper 曲面

图16. 自交的Enneper 曲面

(4) Scherk 曲面考虑单位圆盘D ＝ w ∈С ||w|<1 上的函数

则

因此它可以表示为

它是xy- 平面上，以原点为中心，以π 为边长的正方形区域上的一个曲面（图17），是由德国数学家Heinrich Scherk 在1834 年发现的。

图17. Scherk 曲面

不难发现，(4) 式可以改写为z ＝ lncos y － lncos x。我们还可以反过来证明，能够表示成z ＝ φ(x) ＋ ψ(y) 的极小曲面都是Scherk 曲面。

如果我们进一步将Scherk 曲面向外延拓，最终会得到一张完备的Scherk曲面。

图18. 双周期的Scherk 曲面

3.Plateau 问题

1840 年，比利时物理学家和数学家普拉托（Joseph Plateau）对最小表面积问题着手进行实验研究。与很多科学发现一样，实验开始于一次偶然。一个仆人把油溅到了盛有水和酒精的容器中，普拉托注意到油在混合物中呈现出了完美的球形。后来，普拉托改用肥皂溶液和甘油进行实验，并把蘸湿的线框放入其中，得到了一系列的实验结果，记载于1873 年出版的两卷本著作《实验与理论流体静力学》（Statique expérimentale et théorique des liquides）中。他在自己的实验结论中写到：“那些香槟、啤酒和肥皂水中的泡沫很明显是液体薄膜的结合体，……。因此，尽管泡沫在人们看来是极其易变的，但它一定会受到一些规则的支配。”

我们很容易就可以重演普拉托的实验。把一个带把手的环状铁丝浸入肥皂水中，然后轻轻地取出来，在铁丝上就会形成一个处于平衡状态的彩色薄膜。如果我们忽略混合液体自身的重量，也不考虑风力等外部干扰因素，那么薄膜的势能在表面张力的作用下会达到最小值，而肥皂膜所呈现的曲面形状必然具有最小的面积。

因为铁丝构成的边界曲线或曲线组可以非常复杂，所以很难得到解的表达式。现在通常把寻求以给定空间闭曲线为边界的面积最小的曲面问题称为普拉托问题。我们可以通过一系列的肥皂膜实验看出普拉托问题的多样性和复杂性。

把铁丝弯成一个封闭的圆周，那么张在圆周上的肥皂膜自然是一个平面圆盘。如果改变作为边界的圆周的形状，对它做一些连续的变形，我们会发现，它所张成的圆盘的拓扑类型并不是保持不变的。例如，如果把铁丝绕两圈封闭起来，再将它浸入肥皂水并小心地取出，我们会发现所形成的曲面并不是单连通的，而是一条不可定向的默比乌斯带，如图19。它是只有一个表面和一个边界的曲面，由德国数学家默比乌斯（August Möbius）和李斯丁（Johhan Listing）在1858 年分别独立发现的。

图19

如果我们把铁丝框架上的把手稍稍向外分开，那么张在框架上的肥皂膜也会随之变形。在某一个时刻，肥皂膜会突然变为单连通的圆盘形的曲面，如（图20）。如果逆转上述过程，我们可以看到，框架上张成的肥皂膜又从圆盘形曲面回复到了默比乌斯带形曲面。反复进行这样的变化，我们会发现，从一种曲面类型到另一种曲面类型的跳跃往往具有滞后性。也就是说，当我们将框架性状由A 变为B，曲面保持默比乌斯带形曲面，如果继续将框架性状变成C，肥皂膜类型会突然改变成为圆盘形曲面；而当我们逆向操作时，当框架形状由C 变成B，肥皂膜会保持圆盘形曲面而非跳跃为默比乌斯带形，只有继续形变至某一时刻，肥皂膜的形状才会突然改变。这也就是说，框架性状在某一个变化范围内时，框架张成的肥皂膜曲面既可以是默比乌斯带形，也可以是圆盘形，而且它们都是相对稳定的。这说明它们与邻近的曲面相比较，面积已经达到了相对的最小值。也就是说，用普拉托实验得到的曲面未必是面积最小的曲面，而是与相邻近的曲面相比，面积达到最小的曲面。

图20

我们也可以用实验得到前文提到的悬链面。用铁丝的两端弯成两个大小相同的圆周，中间留一段做手柄，然后将手柄弯曲，使两个圆周所在的平面平行且圆心对齐。把这样一个框架浸入肥皂水后，再轻轻取出，可以看到框架上的肥皂膜张成了如图21的形状，它并不是一个标准的曲面，而更像是由三块曲面构成的。此时，如果用一根针将中间的圆盘刺破，肥皂膜会立即收缩成悬链面的样子，如图22。此时的曲面面积比之前的邻近的曲面面积都要小。进一步，如果将两个框架圆周慢慢分开，悬链面就会变得越来越长，面积也会越来越大。到某一时刻，肥皂膜会分裂为分别张在两个框架圆周上的圆盘曲面, 而这两个曲面面积之和一定小于之前的悬链面面积。

图21

搜图

编辑

图22

由此可见，由一定边界曲线张成的极小曲面并不会随着边界曲线的连续变化而连续形变。在一定的时刻，其拓扑类型会发生突变，可能从可定向曲面变成不可定向曲面，从单连通曲面变成多连通曲面，也可能从连通曲面变成非连通曲面。这进一步地说明了肥皂膜实验得到的曲面未必是以给定框架为边界的面积最小的曲面，而是与相邻近的曲面相比，面积达到最小的曲面。

继续这个有趣的肥皂泡实验，我们甚至可以发现，以同一个框架为边界所张成的面积最小的单连通曲面可能不止一个。当我们把铁丝弯成形如图23 时，由这个框架张成的极小曲面可能有两种，一种是张在两个圆弧上的部分和张在连接两个圆弧的两条平行线间的部分共同组成的单连通曲面；另一种可以看作是两个圆周间的悬链面去掉了两条平行线间部分所得到的单连通曲面，如图24。这两种情况的出现取决于两个圆弧之间的距离。当距离较大时，前一种的面积明显小于后一种，因此会出现图23 的情况；而当距离较小时，则恰恰相反。但是，如果我们把距离取在一个合适的位置（比如间隔约等于圆周半径时），由于两种曲面面积近似，这个实验就可以稳定地实现这两种曲面。也就是说，以同一个框架为边界所张成的面积最小的单连通曲面可能不止一个。普拉托问题即使在限制所求曲面的拓扑类型的情况下，也是可能具有多解性的。

普拉托实验向人们展示了美丽肥皂泡背后优雅的数学现象，但是如何用严谨的数学理论去解释这一问题却是数学家们面临的一个巨大挑战。自普拉托提出实验后的九十多年间，问题都没有得到突破性的进展。这不仅是因为解决这一问题有一定的难度，也是因为一直以来，这个问题本身没有得到一个恰当的表述。普拉托的实验虽然十分有趣，然而要说清这一问题的条件却并不简单。在当时的条件下，处理这类非线性偏微分方程边值问题的手段有限，传统方法很难发挥作用。

图23

图24

虽然德国数学家施瓦兹（Hermann Schwarz）和黎曼（Bernhard Riemann）曾经研究过以折线多边形为边界的极小曲面的存在性，但是在数学上说清楚普拉托问题并给出满意的答案，则是20 世纪30 年代的事。1930 年，匈牙利数学家拉度（Tibor Radó）在边界为可求长的简单封闭曲线情形，用极限方法证明了普拉托问题弱解的存在性。1931 年，美国数学家道格拉斯（Jesse Douglas）引进关于边值的新泛函代替面积泛函，使普拉托问题弱解的存在性得到完全解决，并给出了偏微分方程的“变分直接方法”，因而获得1936 年的首届菲尔兹奖。道格拉斯的工作有力地推动了极小曲面的研究，使它进入了一个新的时期，然而解的正则性成为了一个遗留问题。直到1970 年，美国数学家奥斯曼（Robert Osserman）证明了上述存在的解是处处内部正则的，即不会有分支点。数学家们终于彻底地解决了普拉托问题。

图25. 道格拉斯（1897-1965）

普拉托问题至今仍是极小曲面相关研究中一个重要的课题。对于它的研究，带动了数学的许多分支的发展，特别是变分学以及偏微分方程的现代方法，也推动了几何测度论等许多数学的新概念和新方法的产生3,4。

1915 年，前苏联数学家伯恩斯坦（Sergei Bernstein）证明了方程(1) 在全平面上的解只有一次多项式。也就是说，三维空间中完备的极小曲面必定是平面。这是关于非线性偏微分方程的一个十分深刻的整体性结果，称为极小曲面的伯恩斯坦定理。

图26. 伯恩斯坦（1880-1968）

人们曾一度猜测伯恩斯坦定理在高维空间中也是成立的。1966 年，几何测度论创始人之一、美国数学家阿尔姆格伦（Frederick J. Almgren）将这个结论推广到了四维空间； 1967 年，美国数学家和投资家西蒙斯（James Simons）证明了对小于等于七维的空间伯恩斯坦定理都是成立的。出乎意料的是，当空间维数大于七时，意大利数学家邦别里（Enrico Bombieri, 1974 年菲尔兹奖获得者），德乔吉（Ennio de Giorgi, 1990年沃尔夫奖获得者）和基乌斯蒂（Enrico Giusti, 1978 年Caccioppoli 奖获得者）在1969 年对极小曲面的伯恩斯坦猜想给出了反例。

注释：

1 Almgren F. J., Minimal surface forms，The Mathematical Intelligencer，1982，4(4): 164-172。

2 陈维桓，极小曲面，大连理工大学出版社，2011。

3 Isenberg C.，The science of soap films and soap bubbles, Courier Dover Publications, 1978。

4 Meeks III W, Pérez J.，The classical theory of minimal surfaces, Bulletin of the American MathematicalSociety, 2011, 48(3): 325-407。

本文转载自杂志《数学文化》