平移吊伸缩臂(10分钟学会：函数图像的平移与伸缩变换)

Posted 2023-05-25

篇首语：实践是知识的母亲，知识是生活的明灯。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了平移吊伸缩臂(10分钟学会：函数图像的平移与伸缩变换)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

平移吊伸缩臂(10分钟学会：函数图像的平移与伸缩变换)

函数图像的变换在初中就接触了，初中主要讲了图像的平移变换。很多同学采用“左加右减，上加下减”的口诀进行记忆，基本能够解决初中遇到的问题。

到了高中以后，在三角函数章节，增加了函数图像的伸缩变换。当平移变换和伸缩变换综合到一起的时候，同学们就容易混淆了，有些记忆方法总是容易忘记。那么，关于函数图像的平移与伸缩变换，有没有共同的特点呢？如何才能快速掌握呢？接下来，我们用10分钟的时间进行学习。

首先，请大家再认识一下坐标系。

我们明确图像平移变换的时候x和y值的变换趋势。如果向右平移，实质是向x轴正方向平移，那么x的值就有变大的趋势；若向左平移，实质是向x轴负方向平移，那么x的值就有变小的趋势；接下来大家应该能够猜到了。如果向上平移，实质是向y轴正方向平移，那么y的值就有变大的趋势，若向下平移，实质是向y轴负方向平移，那么y的值就有变小的趋势。

再明确函数图像伸缩变换的时候x和y值的变换趋势。比如说横坐标扩大两倍，那么很明显，x的值有变大的趋势，如果说纵坐标缩小为原来的1/2，则y的值就有变小的趋势。

我们进一步明确变换的对象及变换的方向。当图像在水平方向发生改变的时候，实质是对x本身的变化，如向左或向右平移、横坐标扩大或缩小；当图像在竖直方向发生改变的时候，实质是对y本身的变化，如向上或向下平移，纵坐标扩大或缩小。然后，看其变化趋势，若增加了，则要减去，若减小了，则要加上，若缩小了，则要扩大，若扩大了，则要缩小，即逆向变换。图像就像青春期的孩子，有这强烈的叛逆性格。

所以图像变换实际上就两个原则：

1.水平方向的变换，则变x本身，竖直方向的变换，则变y本身；

2.逆向变换。

特别要注意，原则1中，“本身”这两个字的意义。对于原则2，我们也可以联想到物理上的惯性现象进行记忆：即物体总有保持原有运动状态的性质。联系发生的越多，我们的记忆就会越深刻。这是一种很重要的思维习惯。

接下来，我们举例说明，以三角函数y=sin2x为例。

变换1：将函数的图像向右平移π/6个单位。根据第1条原则，这是水平方向的变化，要变x本身，根据第2条原则，向右平移，x的值有变大的趋势，要逆向变换，将x变成x-π/6，即：

变换2：在变换1的基础上，将横坐标扩大为原来的3倍。根据第1条原则，这是水平方向的变化，要变x本身，根据第2条原则，横坐标扩大，x的值有扩大的趋势，要逆向变换，将x变成x/3，即：

变换3：在变换2的基础上，将图像向下平移1个单位。根据第1条原则，这是竖直方向的变化，要变y本身，根据第2条原则，向下平移，y的值有变小的趋势，要逆向变换，将y变成y+1，即：

变换4：在变换3的基础上，将纵坐标缩小为原来的1/2。根据第1条原则，这是竖直方向的变化，要变y本身，根据第2条原则，纵坐标缩小为原来的1/2，y的值有缩小的趋势，要逆向变换，将y变成2y，即；

这种方法大家学会了么？可能刚开始我们对这种方法并不是很习惯，因为我们习惯了使用初中的口诀。初中的方法当然也可以使用，但那不是函数图像变换的实质，没有统一性，也不能解决伸缩变换的问题。如果我们以后学习曲线的平移与伸缩变换，这里介绍的方法依然适用。

【练一练】请大家用不同的方法，完成下面的图像变换，可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩，感受两种方法的差异。思考：为何顺序改变后，平移的量也不同了呢？你是如何进行联想记忆的？欢迎留言交流。

本文引用自“熠像天开青少年发展研究社”公众号，更多高中数学学习方法，可以关注该公众号了解。

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