論邏輯後承概念

Posted 2023-01-03 概念

篇首语：业无高卑志当坚，男儿有求安得闲?本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了論邏輯後承概念相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

論邏輯後承概念

論邏輯後承概念
A.塔爾斯基著劉新文譯馬明輝校
中國社會科學院哲學研究所
原發期刊：《世界哲學》2020年第一期
摘要：塔爾斯基在其1933年的論文中基於自己開創的語義學定義了形式化語言中真這個概念。然後
他在發表於1936年的本文中
在真這個概念的定義的基礎上
第一次為後承概念提出了一個實質恰當的定義
即「句子X從類K的句子邏輯地得出當且僅當K這個類的每個模型也是句子X的模型」
使得邏輯後承這個現代邏輯核心概念的定義成為標準定義。但是
這個定義也遺留了一個更為根本的問題
即邏輯詞項和非邏輯詞項的劃分標準問題
後者將由塔爾斯基本人在1966年給出了一個劃分標準
從而開闢了一個方興未衰的邏輯哲學研究方向。
關鍵詞：邏輯後承; 邏輯地得出; 真; 邏輯詞項;
一、引言
將邏輯後承概念引入嚴格形式研究的領域
不是這個或那個研究者隨意決定的事情;定義這個概念時
要努力堅持日常生活語言的通常用法。但是
這些努力一直面臨此種情況下常常出現的困難。就內容的清晰性而言
通常的後承概念決不會比日常語言的其他概念優先。它的外延沒有明確界定
它的用法也是多變的。任何企圖協調與這個概念的使用相關的所有可能模稜兩可、有時矛盾的傾向的嘗試
都註定要失敗。從一開始我們就必須接受如下事實
即這個概念的每一個精確定義或多或少都會顯示隨意性的特徵。
二、句法方法
甚至直到最近
許多邏輯學家還相信
藉助相對少量的概念
他們已經成功地幾乎精確地把握了後承這個普通概念的內容
或者甚至成功地定義了與普通後承概念重合的新概念。這樣的信念本來很容易在演繹科學方法論的新成就中產生。由於數理邏輯的發展
最近幾十年里
我們已經學會如何以形式化的演繹理論的方式呈現數理學科。眾所周知
在這些理論中
每條定理的證明都歸約為某些簡單推理規則——比如替換規則和分離規則——的單次或重複應用。這些規則告訴我們
怎樣的純結構變換(即其中只涉及句子外部結構的變換)是基於公理或該理論已證明的定理而進行操作的
因而作為這些變換的結果的句子自身可以看作是得到證明的。邏輯學家們認為
這些少量的推理規則窮盡了後承概念的內容。所以邏輯學家們認為
如果一個句子從其他句子得出
它就能以多少有些複雜的方式
藉助規則所允許的變換從其他句子得出。為了對這種觀點進行辯護
反對懷疑者質疑這樣形式化的後承概念確實與通常的後承概念一致
邏輯學家可以提出有分量的論證:他們實際上已經成功地以形式化證明的方式
再現數學中曾經一直運用的所有精確的推理。
然而
今天我們知道
這種懷疑論非常有道理
上面概述的觀點也無法成立。多年以前
我給過一個很基本的理論的例子
它表現出如下特點——在這個理論的定理中出現如下句子:
A0. 0具有給定的性質P
A1. 1具有給定的性質P
而且更一般地是
還出現所有形如
An. n具有給定的性質P
的特稱句子
其中「n」代表某個給定的(如十進位)數字系統中指稱自然數的任何符號。另一方面
全稱句子
A.每一個自然數都具有給定的性質P
三、語義方法
第一個嘗試為真正的後承概念表述一種精確定義的人是卡爾納普。6但這種嘗試與選定為研究主題的形式化語言的特殊性質密切相關。卡爾納普提出的定義可以表述如下:
句子X從類K的句子邏輯地得出當且僅當由K中所有句子和X的否定組成的類是矛盾的。
上述定義中決定性的因素顯然是「矛盾的」這個概念。卡爾納普關於這個概念的定義太複雜、太特殊
沒有長篇大論和繁瑣的解釋是無法在這裡重現的。7
這裡我想概述一種一般性的方法
在我看來
這種方法使我們能為一類廣泛的形式化語言構造後承概念的恰當定義。不過我要強調的是
所提出的對後承這個概念的處理
絕沒有說它是完全原創的。這種處理方式所涉及的想法
對於許多密切注意後承概念並且試圖更精確地刻畫它的邏輯學家來說
的確似乎是某種已知的東西
或者甚至是他自己的某種東西。然而
在我看來
只有近年來為建立科學語義學而發展的方法
以及藉助這些方法所定義的概念
才允許我們以精確的形式把這些想法呈現出來。8
某些直觀考慮構成我們的出發點。考慮任意句子類K以及從這個類的句子得出的句子X。從直觀上看
決不會發生句子類K僅由真句子組成而句子X假的情況。再者
由於這裡我們關心邏輯後承(即形式後承)這個概念
由此關心在句子之間成立的、由句子形式唯一決定的關係
所以這種關係不能以任何方式受經驗知識的影響
尤其不能受關於句子X或K這個類的句子所指的對象的知識影響。後承關係不能因為把這些句子中所指對象的名稱替換為任何其他對象的名稱而受到影響。剛才指出的兩種情況對於真正的後承概念來說似乎是非常典型的和基本的
這兩種情況可以共同表達在下列陳述中:
(F)如果在K這個類的句子和句子X中
除開純邏輯常項
其中的常項被任何其它常項代替(相同符號到處用相同符號代替)
而且如果我們用「K/」指從K這樣得到的句子類、用「X/」指稱從X得到的句子
那麼只要K/中所有句子都是真的
句子X/也必定是真的。
[為了簡化討論
此後一些附帶的複雜問題都會被忽略。這些問題部分地與邏輯類型的理論有關
部分地與消去所關注的句子中可能出現的任何被定義符號的必要性有關
即與用初始符號代替被定義符號的必要性有關。]
在(F)這個陳述中
我們已獲得句子X是句子類K的後承的一個必要條件。現在產生的問題是
這個條件是否也是充分的。要是這個問題得到肯定回答
表述一種關於後承概念的恰當定義這個問題就會得到肯定的解決。唯一的困難就會與條件(F)中出現的「真的」這個詞有關。但是這個詞在語義學中可以得到精確而恰當的定義。9
很不幸
情況並非如此樂觀。可能發生而且確實發生的一種情況是
考慮特殊的形式化語言
不難表明
雖然滿足條件(F)
句子X也不能在通常意義上從K這個類的句子得出。這個條件可能只因我們處理的語言不具備足夠多的非邏輯常項而得到滿足。如果條件(F)可以看作句子X從K這個類得出的充分條件
那麼所有可能對象的名稱就會都出現在所討論的語言中。然而這個假設是虛構的
永遠無法實現。10因此
我們必須尋找一些表達條件(F)的意圖的手段
這些手段將完全獨立於那個虛構的假設。
這樣的手段由語義學提供。在語義學的基本概念中
我們有單個對象或對象序列滿足句子函數的概念。在這裡對這個概念的內容的一種精確解釋將會是多餘的。約翰和彼得滿足「X和Y是兄弟」這個條件
或者數字2、3和5的三元序組滿足等式「x y = z」
這些表達的直觀意思就能說清楚問題。與其他語義概念一樣
滿足這個概念必須總是相對於某個特殊語言。它的精確定義的細節依賴於該語言的結構。然而
可以建立一種一般性的方法
使我們能夠對一大類形式化語言構造這樣的定義。很不幸
由於技術原因
這裡不可能概述這種方法
甚至也不能概述這種方法的一般性概要。
可以通過滿足概念來定義的概念之一
就是模型這個概念。讓我們假定所考慮的語言中特定的變元對應於每一個非邏輯常項
以這種方式
如果使用相應的變元代替其中的常項
每個句子就變成句子函數。令L是任何句子類。使用相應的變元替換屬於L的句子中出現的所有非邏輯常項
相同的常項替換為相同的變元
不同的常項替換為不同的變元。通過這種方式
我們得到一個句子函數類L/。任何滿足類L/這個類中每個句子函數的對象序列
都將稱為句子類L的一個模型或實現(正是在這種意義上
人們通常談論一個演繹理論的一個公理系統的模型)。特別地
如果類L由單個句子X組成
那麼我們也把L這個類的模型稱為句子X的模型。
我們可以通過上面這些概念如下定義邏輯後承這個概念:
句子X從類K的句子邏輯地得出當且僅當K這個類的每個模型也是句子X的模型。11
在我看來
理解上述定義的內容的每個人
都必定會承認它與日常用法相當一致。從它的各種推論可以更清楚地看到這一點。特別地
根據這個定義可以證明
真句子的每個後承一定是真的
而且還可以證明
在給定的句子之間成立的後承關係完全獨立於這些句子中出現的非邏輯常項的涵義。簡言之
可以表明
如果句子X可以從K這個類的句子得出
那麼上述條件(F)就是必要條件。另一方面
這個條件一般來說不是充分條件
因為這裡定義的(與我們所採取的立場一致的)後承概念
獨立於所研究語言的概念的豐富性。
最後
不難調和我們提出的定義和卡爾納普的定義。因為我們可以贊同
如果一個句子類沒有模型
那麼稱這個句子類是矛盾的。類似地
如果每個對象序列都是一個句子類的模型
那麼可以稱這個句子類是分析的。這兩個概念不僅可以與句子類聯繫起來
也可以與單個句子聯繫起來。讓我們進一步假定
在我們所處理的語言中
對每個句子X
都存在這個句子的否定
即存在一個句子Y
它有且僅有不是句子X的模型的對象序列作為模型(這個假定在卡爾納普的構造中是十分基本的)。根據所有這些約定和假定
容易證明這兩個定義的等價性。也可以像卡爾納普那樣表明
有且僅有從所有句子類(尤其是空類)都可以得出的句子是分析的
有且僅有可以得出所有句子的句子是矛盾的。12
四、邏輯詞項
我完全不主張這樣的觀點
即後承概念的實質恰當的定義這個問題在上述討論的結論中完全得到解決。相反
我仍然看到幾個沒有解決的問題
這裡我僅指出其中一個問題
或許這是最重要的問題。
我們整個構造背後隱藏著一種劃分
把所討論的語言的全部詞項分為邏輯的和非邏輯的。這種劃分肯定不是隨意而為。比如
要是我們把蘊涵記號或者全稱量詞納入非邏輯符號
那麼我們關於邏輯後承的定義便會導致與通常用法相矛盾的結論。另一方面
我還不知道有什麼客觀的根據
允許我們在兩組詞之間劃一條明確的界限。似乎有可能把一些通常被邏輯學家看作非邏輯詞的詞項納入邏輯詞
但是不導致與日常用法明確對立的結論。極端情況是
我們本可以把語言的全部詞項看作邏輯詞。那麼形式後承這個概念就會與實質後承這個概念重合。在這種情況下
要是句子X是真的或K這個類中至少有一個句子是假的
那麼句子X就會從句子類K得出。13
為了看到這個問題對某些一般性的哲學觀點的重要性
只要注意這樣一點便足夠了
即把詞項劃分為邏輯詞和非邏輯詞
在澄清「分析的」這個概念時
也會起一種基本的作用。但是按照許多邏輯學家的意見
這最後一個概念被看作是與重言式(即「對現實毫無所說」的陳述)這個概念精確的形式上相互聯繫的東西
對我個人而言
「分析的」這個概念是很含糊的
但它在維特根斯坦和整個維也納學派的哲學討論中一直是極其重要的。14
毫無疑問
進一步的研究將大大澄清我們感興趣的問題。也許將來有可能找到重要的客觀論證
使我們能夠證明邏輯表達式和非邏輯表達式之間的傳統界線是合理的。但是我也認為
在這個方向上的研究完全有可能不會產生正面結果
以致於我們將不得不把「邏輯後承」「分析陳述」和「重言式」這樣的概念視為相對性的概念
在任何場合
這些概念都必須與一種把詞項分為邏輯詞和非邏輯詞的明確劃分聯繫起來
儘管這種劃分多少有些隨意。後承概念的普通用法中的波動便會很自然地反映在這種強制情境中。
(Alfred Tarski，「On the Concept of Logical Consequence」
Logic
Semantics and Metamathematics:Papers from1923 to 1938
J.H.Woodger trans.
Second edition
edited and introduced by John Corcoran
Hackett Publishing pany
1983
pp.409—420)
注釋
1對具有這種特點的理論的詳細描述
參見論文《關於ω-一致性和ω-完全性的一些觀察》(《文集》中IX);對密切相關的無窮歸納規則的討論
參見論文《形式化語言中真這個概念》(《文集》中VIII)第258頁以下。
2對於元理論概念以及元理論在其相應的理論中的解釋問題
參見論文《形式化語言中真這個概念》(《文集》中VIII)第167頁以下
第184頁以及第247頁以下。
3Kurt G?del
「über formal unentscheidbare S-tze der Principia mathematica und verwandter Systeme I」
Mh.Math.Phys.
xxxviii(1931)
pp.173—198
pp.190f.
4為了預料可能出現的反對意見
應該更準確地界定剛才表述的結論的應用範圍
更清楚地展示推理規則的邏輯性質
尤其是必須準確說明這些規則的結構特徵指的是什麼。
5論文《關於ω一致性和ω完全性的一些觀察》(《文集》中IX)第293頁以下清楚地指出了所討論的兩個概念之間的對立。然而
與我目前的立場相反
在那裡我以明確否定的態度
表達了我自己關於建立真正的後承概念的精確形式定義的可能性的想法。我那時的立場可以由如下事實來說明
當我在寫提及的這篇論文時
我希望避免超出任意古典形式的邏輯類型理論的任何構造手段;但是可以表明
僅僅使用古典類型論允許的手段
不可能恰當地定義真正的邏輯後承概念
除非我們應該因此僅限於考慮具有初等特徵和片斷特徵的形式化語言[確切地說
限於所謂的有窮階語言;參見論文《形式化語言中真這個概念》(《文集》中VIII)
特別是第268頁以下]。在卡爾納普的十分有趣的著作(Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934)中
(邏輯)推導或可推導性這個詞
被應用於構造演繹理論時通常使用的舊後承概念
從而把它與真正的推論概念區別開。卡爾納普把這兩個概念之間的對立擴展到最為不同的導出概念(「f-概念」和「s-概念」
參見第88頁以下和第124頁以下);他也強調真正的推論概念及其導出概念對一般性的理論討論的重要性(如參考第128頁)
我想這是正確的。
6(1)Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934
pp.88f.(2)Rudolf Carnap
「Ein Gültigkeitskriterium für die S-tze der klassischen Mathematik」
Monatshefte für Mathematik und Physik
xlii(1935)
pp.163—190;pp.181f.在第一部著作中
還有另一個關於後承的定義
適用於具有初等特徵的形式化語言。這裡沒有考慮到這個定義
因為它無法應用於具有更複雜的邏輯結構的語言。卡爾納普不僅試圖為特殊的語言定義邏輯後承的概念
而且在他稱為「一般句法」的框架中定義邏輯後承的概念。
7參見前一個腳註。
8語義學的方法和概念
尤其是真和滿足的概念
在論文《形式化語言中的真這個概念》(《文集》中VIII)中有詳細討論;也可參考論文《科學語義學的建立》(《文集》中XV)。
9參見前一個腳註。
10這些說明構成對以前嘗試定義形式後承這個概念的一些嘗試的批評。這些嘗試特別關注卡爾納普關於邏輯後承以及系列導出概念(L-後承和L-概念)(Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934
pp.137f.)的定義。在我看來
這些定義建立於「一般句法」的基礎上
就此而言它們實質上是不恰當的
這僅僅因為所定義的概念在外延方面本質上依賴於所研究語言的豐富性。
11本文第一次印出來後
肖爾茲在其論文(「Die Wissenschaftslehre Bolzanos
Eine Jahrhundert-Betrachtung」)(Abhandlungen der Fries"schen Schule
new series
vol.6
pp.399—472)中指出
這個關於後承的定義與大約100年前鮑爾察諾提出的定義之間有一種深刻的類似。——作者
12(1)Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934;(2)Rudolf Carnap
「Ein Gültigkeitskriterium für die S-tze der klassischen Mathematik」
Monatshefte für Mathematik und Physik
xlii (1935)
pp.163—90
p.182.順便我想說明
這裡提出的後承概念的定義
沒有超出卡爾納普構想的句法的界限(Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934)。必須承認
一般性的滿足(或模型)的概念不屬於句法;但我只用這個概念的一種特殊情況——即不含非邏輯常項的句子函數的滿足這個概念
只用一般性的邏輯概念和具體的句法概念
就能刻畫這種特殊情況。在一般的滿足概念與這裡使用的這個概念的特殊情況之間
真句子的語義概念與分析性句子的句法概念之間
大約都有某種相同的關係成立。
13對於K這個類
即給定的句子X由之得出的類
只含有有窮多個句子Y1
Y2
…
Yn的特殊情況
把「可推導性」、「形式後承」和「實質後承」這三個概念並列起來
也許是有啟發性的。讓我們用符號「Z」指前件為句子Y1
Y2
…
Yn的合取、後件為X的條件句(即蘊涵式)。下列等價命題由此得以建立:句子X從類K的句子(邏輯)可推導當且僅當句子Z是邏輯可證的(即從邏輯公理可推導的);句子X從類K的句子形式得出當且僅當句子Z是分析性句子;句子X從類K的句子實質得出當且僅當句子Z是真的。在這三個等價命題中
只有第一個會引起一些反對意見;參見論文《系統演算的基礎》(《文集》中XII
第342—64頁、特別是第346頁)。(1)Kazimierz Ajdukiewicz
Z metodologji nauk dedukcyjnych
Lwów
1921
p.19;(2)Kazimierz Ajdukiewicz
Logiczne podstawy nanczania
Encyclopidja Wychowania
ii
Warszawa
1934
pp.14、42.由於後承概念的幾個變種之間表現出來的相似性
自然出現的問題是
除了這些特殊概念
引入具有相對性特徵的一般性概念
實際上就是概念相對於句子類L的推論這個概念
這是否會是有用的。如果我們再次使用之前的記法(我們限於K這個類是有窮的情況)
我們可以如下定義這個概念:句子X相對於句子類L可從類K中句子得出當且僅當句子Z屬於類L。根據這個定義
可推導性就會與相對於所有邏輯可證句子的類的後承重合
形式後承就會是相對於所有分析性句子的類的後承
而實質後承就會是相對於所有真句子的類的後承。
14Ludwig Wittgenstein
Tractatus Logico-Philosophicus
London
1922;Rudolf Carnap
Logische Syntax der Sprache
Wein
1934
pp.37—40.