吴方法—中国古代数学的现代化应用，开拓了数学机械化道路

Posted 2022-12-28 数学

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吴方法—中国古代数学的现代化应用，开拓了数学机械化道路

进入 20 世纪以来，中国数学取得了不错的成绩，华罗庚、苏步青、熊庆来、王浩、柯召、姜伯驹、陈景润、田刚、吴文俊等数学家在数学的研究上都得到了国际的认可。其中吴文俊的吴方法对于中国古代数学的探索，更是取得了惊人的成就。华罗庚吴文俊师从现代微分几何学之父陈省身，陈省身被誉为最厉害的亚洲数学家，陈省身在国际上与欧拉、高斯、黎曼、嘉当齐名，合称「 ”欧高黎嘉陈”。陈省身吴文俊并没有辱没老师的名声。在拓扑学上取得了非常不错的成绩，有吴文俊类和吴文俊公式。仅用几页纸就证明了 Whitney 乘积公式和对偶定理，当时最具权威的美国《数学年刊》刊载了这个公式。还因拓扑学中的示性类及示嵌类的成就获奖，获得了首届国家自然科学一等奖。从 70 年代开始，吴文俊就一直致力于研究中国古代数学，他把中国传统数学的特点概括为构造性与机械化。年轻时候的吴文俊我们知道，古希腊欧几里得几何的证明模式是从定义和公理出发，按照逻辑规则逐步演绎推断，几何证明过程中没有通用的证明法则，只能一题一证，根据不同的问题构思不同证明的方法。笛卡尔的《几何学》对希腊演绎模式进行了批判，企图以代数改造几何，给出了不同于《几何原本》的证明模式，开创了可用计算进行几何定理证明的新局面，从而将演绎几何引向解析几何。但是笛卡尔并没有摆脱对欧氏几何的依赖，直到欧拉才真正开始了代数独立化运动。而「 ”解方程”在中国古代数学中有着悠久的传统。《九章算术》中就有用「 ”开方术”和「 ”方程术”（线性联列方程组的消元解法）解各种应用问题。《九章算术》的「 ”方程术”在宋元时期被发展为「 ”四元术”，即解多元代数方程组的消元算法。基于对数学史的深厚研究，他本人复原了《周髀算经》的「 ”日高公式”的证明，从而发现中国古代数学家利用「 ”出入相补原理”建立二次方程，进而发现中国几何代数化的特征。最后，吴文俊得出结论认为数学发展沿着两条路线，一条是源自古希腊的抽象演绎（以欧几里得几何为代表的）数学系统，另一条发源于中国，影响到印度和阿拉伯，然后影响到世界的算法化数学系统。在吴文俊看来，数学发展的主流有两种模式，一种是公理化（演绎）模式，一种是机械化（算法化）模式，前者以希腊演绎几何学为代表，后者以中国古代解方程为中心的代数学为代表。当时，关于数学机械化的研究已经在国内外展开，被誉为「 ”数学界的无冕之王”的希尔伯特，他的经典著作《几何基础》将几何学引进更抽象的公理化系统，不仅将欧几里得《几何原本》的公理系统加以改良，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象、普遍的数学理论。希尔伯特计划将数学知识纳入严格的公理体系中，并着力在公理化基础上寻找机械化的方法判定命题是否成立。希尔伯特认为，定理的判定问题应当是分类解决的，解决方法要同时强调简单性和严格性。该书可谓论述几何公理化的经典性著作。后来，希尔伯特还提出了希尔伯特方案，要求把数学完全形式化，列出基本概念、公理以及基本推理规则，而且必须列举详尽无遗,使得数学中一切概念都可以从基本概念定义出来,各概念一切性质也都可以从公理与基本推理规则推出，因而不必再借助于任何直觉、任何图形。然而最终以失败告终。 1959年，我国著名数理逻辑学家王浩设计了一个程序，大家可能对王浩不太了解，他曾担任哈佛大学、牛津大学教授，兼任巴勒斯公司的研究工程师、贝尔电话实验室技术专家、IBM研究中心客座科学家等一系列职务，曾用一种相当完备的方法介绍哥德尔的不完备定理。他通过计算机仅用了9分钟证明了Russell、Whitehead 的巨著《数学原理》中的几百条有关命题逻辑的定理。王浩工作的意义在于宣告了用计算机进行定理证明的可能性。在1960年的《IBM研究与发展年报》上，王浩发表了《迈向数学机械化》的文章。「 ”数学机械化”一词即出自此处。与王浩同一时期，1965年 Robinson 归结原理的提出是用逻辑方法进行机器证明的又一重要进展。而1976年 K.L.Appel 和 W.Haken 在高速电子计算机上用 1200 小时的计算时间，作了100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界，证明了著名的四色定理，使数学家们 100 多年来未能解决的这个难题得到了肯定的回答。吴文俊在 70 年代借鉴中国数学构造性算法化的传统，将数学（特别是代数几何）与计算机科学相结合，从解多元高次方程组方面取得了重要突破。 1985年，吴文俊的论文《关于代数方程组的零点》发表，具体讨论了多项式方程组所确定的零点集。与国际上流行的代数理想论不同，明确提出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的机械化方法。他创造的「 ”三角化整序法”是目前唯一完整的非线性多项式方程组消元解法，开创了机器几何定理证明的方向，推动了数学机械化的发展。在国际数学界被称为「 ”吴方法”。吴方法简单来说就是数学机械化，用计算机证明定理，如何从假设的方程推出结论的方程。吴文俊认为在很大程度上，人们可以用复杂的计算推演来代替抽象的推理，从而用计算机来辅助数学家去发现自然结构、获取数学真理。当时，为了研究数学机械化的可能性，已经 60 岁的吴文俊听说有个厂在造计算机，就特意跑去参观。从见到计算机，吴文俊就认为计算机会对数学未来发展产生不可估量的影响。当时吴文俊为了掌握计算机的使用，天天上机房，从ABC学起。为了证明定理，吴文俊把自己当作机器，一步步手算，先证特殊情形，再证一般情形，从而证明了计算机可以证明定理。吴文俊的「 ”吴方法”「 ”吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作，对数学与计算机科学研究影响深远。被应用于多个领域。比如说，他所建立的「 ”吴方法”，吴消元法”及「 ”吴有限核定理”已成为该领域的奠基性成果。运用数学机械化方法，本项研究解决了广义Stewart平台正解问题，这是对机器人运动学领域的一个主要贡献。以此为基础，研制成功我国第一台大型虚拟轴机床样机与集成电路制造装备关键子系统。而在机器人应用中，机器人通过三维扫描获得物体的三维几何位置信息，从而得到最终机械手的位置和朝向，通过反解各个关节的旋转角度，和机械臂的伸缩，使得机械手达到目标位置，从而可以实现抓取。这被称为是逆向运动学问题，需要求解多项式方程组，而吴方法正是解多项式方程组的有力武器。证明思路当然，用来求解多项式方程组也是十分简单快捷。吴方法提供了非常基本的算法，能够求解多项式方程组，证明初等几何定理，计算机器人路径规划，生成数控机床加工方案，进行参数样条曲面隐式化，求解代数几何问题等等，从而广泛应用于纯粹数学、计算数学以及众多工程领域。我们如果查询知网，还会发现，吴方法还被应用于解决染色问题、构建计算机模型、在数学CAI中的应用与研究等。用吴方法还成功地证明了勾股定理、西姆逊线定理、帕普斯定理、帕斯卡定理、费尔巴哈定理，并在45个帕斯卡点中发现了20条帕斯卡圆锥曲线，这种方法还推广到微分几何，将微分几何曲线论中的贝屈朗定理推广到仿射微分几何。总体来说，吴方法的确是一种适用于多个领域的方法，在对几何定理机器证明和非线性代数方程组的研究上的确具有重要的作用。开辟了一个新的探索方向。 1997年在获得国际著名的「 ”自动推理杰出成就奖”时，吴文俊得到了这样的赞誉：「 ”几何定理自动证明首先由赫伯特•格兰特于50年代开始研究，虽然得到了一些有意义的结果，但在吴方法出现之前的20年里这一领域进展甚微。在不多的自动推理领域中，这种被动局面是由一个人完全扭转的。吴文俊院士很明显是这样一个人。” 颁奖现场 2001年2月19日，吴文俊荣获2000年度首届国家最高科学技术奖。2010年5月4日，国际小行星中心先后发布公报通知国际社会，将国际永久编号第7683号小行星永久命名为「 ”吴文俊星”。吴文俊和妻子