中国的半符号代数，美妙的天元术和四元术

Posted 2022-12-28 方程

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中国的半符号代数，美妙的天元术和四元术

中国的古典数学，特别是代数学，曾经有学多辉煌的成就。宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是「 ”天元术”和「 ”四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。代表了13世纪-----14世纪的世界数学的最高水平. 中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。所谓「 ”天元术”，就是设未知数为「 ”天”，然后列出方程，解方程题，「 ”四元术 ”就是设多哥（最多4个）未知数为「 ”天” 、「 ”地”、「 ”人”、「 ”物”，列出多元高次方程组---这实际上是一部半符号代数。「 ”天元术”的创造者是金、元时期的数学家李冶。他原在金朝做小官，元灭金后，隐居湾山，潜心研究学问，于1248年著成《测园海镜》12卷，以解直角三角形容圆内切圆问题为典型问题，论述「 ”天元术”。李冶的天元术中，先「 ”立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一「 ”元”字，在常数项旁记一「 ”太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行「 ”同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。用「 ”元”代表未知数的说法，一直延用到现在。他设未知数为「 ”天”元，以常数项为「 ”太”（太极），列出方程。列如，方程2x2+32x+256=0, 他将等号左边的多项式表示成「 ”天元式” ,m]以后，他又吧常数项放到最上层，按升幂将系数依次往下排。两个多项式相加，将对应的天元式同层相加，元加元，太加太，等等。元乘天元式，「 ”元”字移下一层。这些天元式的运算法则，与现在的多项式运算是一致的。列出多项式以后，用「 ”增乘开方法”来求它的数值解。李冶之后，天元术经二元术、三元术，到了元代朱世杰的《四元玉鉴》，进一步发展为四元术。「 ”其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。朱世杰分别称一元方程为「 ”一气混元”、二元方程为「 ”两仪化元”、三元方程为「 ”三才运元”、四元方程为「 ”四象会元”，汲取了天元术的思想方法，参照了线性方程组用算筹摆出的「 ”矩阵”运算方法，创造出以「 ”天”、「 ”地”、「 ”人”、「 ”物”表示四个不同未知数的四元高次方程组的数值解法，成功解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到了宋元数学的最高成就。而从名称来看，朱世杰的《四元玉鉴》天、地、人与物并列的四象会元方法，也极有可能受到道教思想的影响。例如，二元多项式x2+2xy+y2-3x+y+1，排成天，地两方两元式：地[；多项式x2+y2-z2，排成天、地、人三方的三元式。他还规定了一套四元式运算法则和解法，使中国古典数学发展到顶峰，朱世杰也被史学家萨顿誉为中世纪最伟大的数学家。在宋元，天元术进一步发展为解四元高次联立方程组，同时，几何代数化、多项式运算和消元法也发展起来。方程求解的两个源流合而为一，已经接近现代意义的代数了。因为在筹算盘上运算，多项式中各项系数要摆在盘上的固定位置，这一事实规定了未知数的个数只能以4个为限。只要一旦摆脱筹算而改用其他的运算体系，中国数学就会进入繁荣昌盛时代。当时与阿拉伯世界密切交流，受他们影响比任何时候都大，传入其他运算体系是完全有希望。可惜，自元代之后，中国数学停止向前发展并且中断了。当利玛窦在明代来到中国时，已经没有中国学者懂得《九章算术》了！我们承认数学在明代的落后，但也须认识到背后的历史原因。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。金和元对两宋的先后入侵以及残酷的民族压迫打断了传统数学发展的正常趋势，造成了算器和数学语言发展之间的严重脱节。可作对比，活动于公元250年前后的丢番图是希腊数学中的代表人物，他最出色的著作《算术》一书中的绝大多数篇章谈的是方程，他是解方程的大师，被称为代数学的鼻祖。受中国的影响，印度在7世纪初就有了用文字写的代数学，已经能使用缩写文字和一些记号来描述代数的问题和解答，具有符号代数的性质。公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子米从印度回国后著《代数学》一书。该书的方程论被规定为代数学的研究对象，方程的概念也被明确起来，书中第一次明确提出了二次方程的一般解法，同时，还提出了「 ”移项”、「 ”合并同类项”等方法。以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保留下来。从此，诞生了花拉子米的代数学。这里狗尾续貂一下，令人吃惊的是，众多中国考古遗址出土的陶文符号「 ”卍、卐、⊕、日、工、≮、乄、w、○、丰”、「 ”＋、≮、≯、∠、∩、∪、∧、∨、⊙、⊕、∣、⊥、∏”等一部分出现在「 ”阿拉米字母”里，一部分出现在西方发明的现在使用的数学符号里，也正好是瑞典学者安特生(1874~1960)曾经在中国挖掘的遗址。这意味着什么，令我们深思思考。与其说是所谓的「 ”阿拉米字母”字母影响了突厥文、佉卢文字母，不如说是中国的「 ”刻画符号”影响了突厥文、佉卢文字母，甚至是西方字母的产生，最后，这些陶文也成为参考对象发明西方的「 ”数学符号”。宋元时期，欧洲正处于黑暗的中世纪，一个德国高人请教一个大学教授：他想把儿子送去学习记帐的数学知识，该到哪儿去学呢？这位大学教授回答说：你的儿子如果只想学习加法和减法的话，那么到国内的大学学习就行了；如果要想学习乘法和除法，那么必须到意大利去留学，可见当时的欧洲数学是多么的落后了，而这时的中国数学却象一座灯塔，放射出万丈光芒。