著名的“勾股定律”，竟然是由西周数学家商高发明的

Posted 2022-12-25 毕达哥拉斯

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著名的“勾股定律”，竟然是由西周数学家商高发明的

黄帝二十五子之昆孙，周成王时封于商，以地得姓称商子。商子精数学《周髀》，衍其说为《算经》（见康熙《续修商志》卷八）。《国语》亦谓：商高司商。《周髀算经》为算经十书之一，是我国早期之天文历算著述，主要阐明盖天说和四分历法，首次提出在直角三角形中勾三股四弦五的关系，为世界最早使用勾股定理者。《周髀》有周公、商高问答；《晋书·天文志》亦有记载。

商高是西周时期著名数学家，在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五。早于毕达哥拉斯定理五百到六百年。

据《周髀算经》记载，主要有三方面：勾股定理、测量术和分数运算。《周髀算经》中记载了这样一件事——一次周公问商高：古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数是怎样得来的？商高回答说：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来。矩是根据乘、除计算出来的。这里的矩原是指包含直角的作图工具。这说明了勾股测量术，即可用3∶4∶5的办法来构成直角三角形。《周髀算经》并有勾股各自乘，并而开方除之的记载，说明当时已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中国数学家的独立发明，在中国早有记载。《周髀算经》还记载了矩的用途：周公曰：大哉言数！请问用矩之道。商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。据此可知，当时善于用矩的商高已知道用相似关系的测量术。

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572年?～公元前497年?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？

商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅勾股圆方图，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅勾股圆方图中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2 。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2 =c 2

化简后便可得：a 2 +b 2 =c 2

亦即：c=（a 2 +b 2 ）(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了出入相补法即剪内贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来（出），移到以弦为边的正方形的空白区域龋ㄈ耄，结果刚好填满，完全用图解法就解Q了问题。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的形数统一的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

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