记数的历史

Posted 2022-12-25 数学

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记数的历史

1.【数学起源于什么时候

一. “什么是数学？” 数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的.我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”这个问题. 公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究.这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术.从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究.数学于是成为了关于数与形的研究. 公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学.”（其中“量”的涵义是模糊的，不能单纯理解为“数量”.）直到16世纪，英国哲学家培根将数学分为“纯粹数学”与“混合数学”.在17世纪，笛卡儿认为：“凡是以研究顺序和度量为目的科学都与数学有关.”在19世纪，根据恩格斯的论述，数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学.” 从20世纪80年代开始，学者们将数学简单的定义为关于“模式”的科学：“数学这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性.” 二.数与形的概念的产生人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力.原始人在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异.通过一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到了一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树等等之间存在着某种共通的东西（即它们的单位性）.当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数. 古代的记数方法： 1. 手指计数：利用两只手的十个手指.亚里士多德指出：十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这一事实的结果. 2. 石子记数：在地上摆小石子，但记数的石子堆很难长久保存. 3. 结绳记数：在一根绳子上打结来表示事物的多少.比如今天猎到五头羊，就以在绳子上打五个结来表示；约定三天后再见面，就在绳子上打三个结，过一天解一个结；等等. 秘鲁的印加族人（印第安人中的一部分）古时（公元前1500年前）每收进一捆庄稼，就在绳上打个结，用来记录收获的多少. 中国古代文献《周易系辞下》有“上古结绳而治”之说.“结绳而治”即结绳记数或结绳记事. 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来.宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火.”这是用结草来调发军马，传达要调的人数. 其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法.中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳子组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起. 4. 刻痕记数：1937年在维斯托尼斯（摩拉维亚）发现一根40万年前的幼狼前肢骨，7英寸长，上面有55道很深的刻痕.这是已发现的用刻痕方法计数的最早资料.直到今天，在欧、亚、非大陆的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法来计算他们的牲畜. 直到距今大约五千年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统.我们介绍几种古老文明的早期记数系统.（按时代顺序） 1. 古埃及的象形数字（公元前3400年左右） 2. 巴比伦楔形文字（公元前2400年左右） 3. 中国甲骨文数字（公元前1600年左右） 4. 希腊阿提卡数字（公元前500年左右） 5. 中国筹算数码（公元前500年左右） 6. 印度婆罗门数字（公元前300年左右） 7. 玛雅数字（？）而我们现代广泛使用的是阿拉伯数字.其实，这些阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明创造的，而是发源于古印度，后来被阿拉伯人掌握、改进，并传到了西方，西方人便将这些数字称为阿拉伯数字.以后，以讹传讹，世界各地都认同了这个说法. 与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别.几何学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上.例如，一个平面只不过是一片平地的表面，而一条直线则是拉紧了的一段绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）原先的意思就是“拉紧”.同样，三角形、圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自于人们的观察和实践. 在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同. 1. 古埃及几何学：正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”.一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么他就必须向法老报告所受的损失.法老会派专人来测量所失去的土地，再按相应的比例减税.这样一来，几何学就产生并发展起来了.这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”. 2. 巴比伦人的几何学：也是源于实际的测量，它的重要特征是其算术性质，至少在公元前1600年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面积计算. 3. 古印度几何学：起源与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经”，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解法则的记载. 4. 古代中国几何学：起。

2.数的发展史和历史

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。

但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。

"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。

传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。

这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。

古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1.重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如："III"表示"3";"XXX"表示"30"。 2.右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6","DC"表示"600"。

一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。 3.上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。

如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。

到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。

按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。

算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。

9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。

这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。

但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。

数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。

不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。

说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。

如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。

随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。

如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。

但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。

有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。但"0"的出现，谁也阻挡不住。

现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。

如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1;0!=1（零的阶乘等于1）。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。

在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。

实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。

数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。

如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。

自然数也称为正整数。随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。

为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。

如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。

但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发。

3.古代人是如何计数的

1.结绳计数，绳子每打一个结代表一个或一次，以此类推.

2.筹码计数，每一筹码代表1，或10，或100，等，以此类推.

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为了能记录数和运算结果，人们发明了记数方法.保存数字记录的办法有三种：结绳、签筹、黏土证物。

1、结绳是目前我们所知的最早的计数工具（除手指之外），它出现早于任何的文字，因此对于它被发明的时间和地点都找不到记载。结绳就是指以绳子上打结的数量来表示事物的多少，同时结的大小和形状都可以用来表达不同的含义。我国上古时期的“结绳记事”法，史书上有很多记载。汉朝郑玄的《周易注》中记载：“古者无文字，结绳为约，事大，大结其绳，事小，小结其绳。”《九家易》中也说：“古者无文字，这种记数方法在没有掌握文字的民族中曾经被广泛地采用，有些一些民族甚至一直沿用至今。根据记载，鞑靼族在宋代时仍没有掌握文字，每当发生战争要调发军马时，就在草上打结，然后派人火速传达，有多少结就表示要调多少军马。现在一些秘鲁的牧羊人，还在用这种方法计算牲口。

2、比结绳记数稍晚一些，古代的先民又发明了用签筹记数的方法，即在骨片、木片或竹片上做上标记或刻痕，以此来表示数目的多少。汉朝刘煦在《释名•释书契》中说：“契，刻也，刻识其数也。”说明契刻的目的主要是用来记录数目。人们在订立契约关系时，数目是最重要的，也是最容易引起争端的因素，于是，人们就用契刻的方法，将数目用一定线条作符号，刻在竹片或木片上，作为双方的“契约”。这就是古时的“契”。后来人们把契从中间分开，分作两半，双方各执一半，以两者吻合为凭。《列子•说符》里记载着这样一个故事：有一个宋国人，在路上拾到别人遗失的契，回到家中便把契藏了起来，并偷偷数契上刻的齿数，因为为这些齿代表的钱数不少，非常高兴，情不自禁的对邻居说：“我快要发财了。”这段故事说明古代的契上刻的是数目，主要用来作为债务的凭证。

3、使用黏土制的证物。这类证物从八千年开始就被广泛地使用了.公元前8000年至前4400年间使用的初期证物，形状简单，并以不同形状代表不同类的物体.例如，一个卵形的证物表示一罐油，而一个小球形的证物代表一升谷物.公元前4400年以后，人们设计并使用了更多形状的证物，证物上面的标记也越来越多，越来越复杂.在农耕时代的早期（公元前8000年至前3100年），证物与被说明的物品之间形成一对一的关系.

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康熙年间，何国宗、梅谷等人编著的《数理精蕴》，列举了一套专用数字名称：个（100）、百（102）、千（103）、万（104）、亿（108）、兆（1012）、京（1016）、垓（1020）、秭（1024）、穰（1028）、沟（1032）、涧（1036）、正（1040）、载（1044）、极（1048）、恒河沙（1052）、阿僧祗（1056）、那由他（1060）、不可思议（1064）、无量数（）.其中前几个是十进制、从亿开始为万进制（《太平御览》称“十万谓之亿，十亿谓之兆，十兆谓之京，是京谓之垓，”《孙子算经》称“十垓为秭”，说明存在两种不同的计数方法）.比个位小的数，按递减，依次为分、厘、豪、丝、忽、微、纤、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那（一念之间）、六德（《周礼》6种乐器的声音）、虚空（最小可数量）、清静（无限小的数）.从选用的词汇来看，显然是用越来越短的时间和越来越小的空间来描述越来越精确的数量的变化.

4.数的发展历史

数的诞生

数学——自然科学之父，起源于用来计数的自然数的伟大发明。

若干年以前，人类的祖先为了生存，往往几十人在一起，过着群居的生活。他们白天共同劳动，搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。在长期的共同劳动和生活中，他们之间逐渐到了有些什么非说不可的地步，于是产生了语言。他们能用简单的语言夹杂手势，来表达感情和交流思想。随着劳动内容的发展，他们的语言也不断发展，终于超过了一切其他动物的语言。其中的主要标志之一，就是语言包含了算术的色彩

人类先是产生了“数”的朦胧概念。他们狩猎而归，猎物或有或无，于是有了“有”与“无”两个概念。连续几天“无”兽可捕，就没有肉吃了，“有”、“无”的概念便逐渐加深。

后来，群居发展为部落。部落由一些成员很少的家庭组成。所谓“有”，就分为“一”、“二”、“三”、“多”等四种（有的部落甚至连“三”也没有）。任何大于“三”的数量，他们都理解为“多”或者“一堆”、“一群”。有些酋长虽是长者，却说不出他捕获过多少种野兽，看见过多少种树，如果问巫医，巫医就会编造一些词汇来回答“多少种”的问题，并煞有其事地吟诵出来。然而，不管怎样，他们已经可以用双手说清这样的话（用一个指头指鹿，三个指头指箭）：“要换我一头鹿.你得给我三枝箭。”这是他们当时没有的算术知识。

大约在1万年以前，冰河退却了。一些从事游牧的石器时代的狩猎者在中东的山区内，开始了一种新的生活方式——农耕生活。他们碰到了怎样的记录日期、季节，怎样计算收藏谷物数、种子数等问题。特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂的农业社会时，他们还碰到交纳租税的问题。这就要求数有名称。而且计数必须更准确些，只有“一”、“二”、“三”、“多”，已远远不够用了。

底格里斯河与幼发拉底河之间及两河周围，叫做美索不达米亚，那儿产生过一种文化，与埃及文化一样，也是世界上最古老的文化之一。美索不达米亚人和埃及人虽然相距很远，但却以同样的方式建立了最早的书写自然数的系统——在树木或者石头上刻痕划印来记录流逝的日子。尽管数的形状不同，但又有共同之处，他们都是用单划表示“一”。

后来（特别是以村寨定居后），他们逐渐以符号代替刻痕，即用1个符号表示1件东西，2个符号表示2件东西，依此类推，这种记数方法延续了很久。大约在5000年以前，埃及的祭司已在一种用芦苇制成的草纸上书写数的符号，而美索不达米亚的祭司则是写在松软的泥板上。他们除了仍用单划表示“-”以外，还用其它符号表示“+”或者更大的自然数；他们重复地使用这些单划和符号，以表示所需要的数字。

公元前1500年，南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳记数”——每收进一捆庄稼，就在绳子上打个结，用结的多少来记录收成。“结”与痕有一样的作用，也是用来表示自然数的。根据我国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数。后来又改为“书契”，即用刀在竹片或木头上刻痕记数.用一划代表“一”。直到今天，我们中国人还常用“正”字来记数.每一划代表“一”。当然，这个“正”字还包含着“逢五进一”的意思。

5.古代是如何记数的

从远古时代文明发展的最初阶段起，先民们为了计算猎物、分配食物，不断地积累着关于事物数量的知识。

人们认识数是从“有”开始的，起初略知“1”、“2”，以后在社会生产和社会实践中不断积累，知道的数目才逐渐增多。据调查，新中国成立以前，在有些文化发展比较缓慢的少数民族中，最多还只能数到“3”或“10”，再多就数不清了。

这大体上反映了文明初期先民的识数状况。随着识数的增多，在对具体事物个数抽象的基础上产生了数，有了记数的符号。

我国古代记数的符号，大致有两个系统，一个是算码，一个是数字。前者多用于商业和数学书籍，后者多用于文书和典籍中记录数字。

后来，又从域外传入了阿拉伯数字和罗马数字。罗马数字约在13世纪末或14世纪初传入我国，直到清中期以后才对它的记数方法有较为详细的介绍。

它主要用于表示时辰，出现在钟表和天文仪器上，并未在实际计算中使用，所以基本上没有对我国记数方法产生太大的影响。