球体积证明历史

Posted 2022-12-24 体积

篇首语：心宽一寸，路宽一丈，若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了球体积证明历史相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

球体积证明历史

一、历史上推导出球体体积公式的民族都有哪些

是中国人和古希腊人。球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于（是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾V=916dd3经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，从而得到正确的球体积公式233dV=16d=3π，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π，227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V=11213d过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，17世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步

阿基米德（公元前287—前212年）在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱（就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高）的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容器体积的。因为圆柱的体积是已知的，从而推导出球的体积公式。

阿基米德非常重视这个发现，嘱咐别人在他死后，能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。

二、如何证明球的体积公式

用微积分中的二重积分可以计算球的体积，但是，你如果不会微积分也没关系，还有另外的方法.用此方法的原理是祖堩原理，具体内容是：夹在两个平行平面的几何体，用与这两个平面平行的平面去截它们，如果截得的截面的面积总是相等，那么夹在这两个平面间的几何体的体积相等.为了应用组堩原理，需要找到符合条件的图形；（设球半径为R,Pi表示圆周率，"x^y"表示x的y次方）1、先将球分成两个半球，球出一个半球的体积就可求出球的体积；2、在半球顶上作一个与半球地面平行的平面；3、在这两个平面之间，构造一个圆柱体，使得它的高底面半径均等于球半径；4、然后，在构造的圆柱体中去掉以该圆柱体的上底面为底面，以该圆柱体的高为高的圆锥体的那部分体积，则所剩的部分体积为2(Pi*R^3)/3,5、用距离底面为h的平面去截这两个几何体，截得的半球的截面面积S1=Pi(R^2-h^2)；截得的被去掉一个同底等高圆柱体的面积为S2=Pi(R^2-h^2)，于是，在这两个平面之间，用平行于这两个平面的第三个平面截得的这两个几何体的截面积总有S1=S2；根据祖堩原理，这两个几何体的体积相等，于是就有半球的体积V/2=2(Pi*R^3)/3；因此，球体的体积公式为：V=4(Pi*R^3)/3o（∩_∩）o 记得采纳哦，感激不尽.。

三、比较阿基米德与祖冲之对球体体积的证明

古希腊著名数学家阿基米德（公元前287—前212）在《处理力学问题的方法》利用“平衡法”求解体积，即“在数学上就是将需要求积的量（面积、体积等）分成许多微小单元（如微小线段、薄片等），再用另一组微小单元来进行比较，而后一组微小单元的总和比较容易计算。

只不过这两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。”[4] 因此，可以说阿基米德的平衡法体现了近代积分法的基本思想，阿基米德本人用它解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。

比如阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式，即球的体积等于底面为球的大圆、高为球半径的圆锥的4倍。方法比较接近于现代的积分学祖冲之之子祖暅，利用祖氏定理“幂势既同，则积不容异”和“出入相补原理”方法，在牟合方盖的基础上，解决了刘徽绞尽脑汁未果的球体积问题，得出了球体积的正确公式。

从中可以看出在求解有关球的性质的时候，我国并没有涉及到微积分方法。求解球积问题的基本方法是构造方法，利用数学建模的方式求得与原来的问题等价，借助于外来的力量解决几何问题。

并且，刘祖二人在具体求解时，首先计算出了球的体积，而球的表面积成为历史遗留问题，直到清代才得以完全解决。

四、【怎么用高一数学知识去证明球的体积公式

高中课本给出了圆球体积公式的证明过程，而椭球的体积公式是如何证明的呢？其实我们完全可以运用中学所学的知识来证明椭球的体积公式.下面的证明借鉴了高中课本中证明圆球体积公式的方法，但愿证明方法二也能引入到高中的课本中去.证明方法一：[注：此证明方法是刚读高一时，在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的.此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S .椭球体积公式的导出，起因于读初中时对液体压强公式的怀疑.此证明方法在此暂不给出.] 证明方法二：如图（1），将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面.有 S圆 =π（m2-d2）【1】 S环 =πb2-πr2=π（b2-r2）因为 r/b=d/a（三角形相似）所以 S环 =π（b2-b2d2/a2）【2】将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有（m2-d2）/b2+d2/a2=1 即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【3】将【1】、【2】代入【3】得 S圆=S环再根据祖恒原理可知，这两个几何体是相等的.即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3 即 V椭=4πab2/3 当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时，我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3 .下面的证明得到了新华网论坛昵称为瞎话瞎说 wdzg168 等网友的帮助.特此致谢！〖点击阅读〗。

五、怎样证明球体体积公式

1.球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面.

(l)第一步：分割.

用一组平行于底面的平面把半球切割成层.

(2)第二步：求近似和.

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值.

(3)第三步：由近似和转化为精确和.

当无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积.

（具体过程见课本）

2.定理：半径是的球的体积公式为： .

3.体积公式的应用

求球的体积只需一个条件，那就是球的半径.两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比.

球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的倍（即球体对角钱的一半）；棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球半径为 .

也可以用微积分来求，不过不好写