曲线偏移算法发展历史

Posted 2022-12-24 方程

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曲线偏移算法发展历史

一、求Bezier曲线的发展历史

维基百科

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

二、曲线拟合是谁提出的和发展史

用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（xi,yi）(i=1,2，…m)，其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x,c)常称作拟合模型，式中c=(c1,c2，…)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差（或离差）ek=yk-f(xk,c)的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。

曲线拟合：贝塞尔曲线与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。

三、微分中值定理的历史与发展

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德（Archimedes）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了.1637年，著名法国数学家费马（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理.1691年，法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy），他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》（1823年）、《微分计算教程》（1829年），以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.。

四、非线性方程发展史

1086~1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。

十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。

十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。

后人所称的“杨辉三角”即指此法。十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。

1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。

1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。

1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表（中国王恂、郭守敬等）。

十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。

1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》（1533年出版）中，系统地总结了三角学。 1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。

1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 1550~1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。

1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 1596~1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。

1614年，英国的耐普尔制定了对数。 1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。

1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。

1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。

1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。

1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。

1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。

1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 1665~1676年，牛顿（1665~1666年）先于莱布尼茨（1673~1676年）制定了微积分，莱布尼茨（1684~1686年）早于牛顿（1704~1736年）发表了微积分。

1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。 1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。

1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。 1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。

1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。

1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。

1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。

1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。

1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。

1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二。

五、术数算法的历史及发展

1 中国古代数学的发展在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。

从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。

从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法（中国数学家称之为“术”），他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。

因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。

1.1 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》（约公元前2世纪）卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将xyz的系数和常数项排列成一个（长）方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行（x）的系数（3）“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。

反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓，如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任P.Gabriel教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。

1.2 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。

秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》（1247年）一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+……+a[n-2]x^2+a[n-1]x+a[n]=0 (1) 其中a[0]≠0,a[n]<0，要求（1）式的一个正根。

秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x=c+h，代入（1）得 f(c+h)=a[0](c+h)^n+a[1](c+h)^(n-1)+……+a[n-1](c+h)+a[n]=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程： f(h)=a[0]h^n+a[1]h^(n-1)+……+a[n-1]h+a[n]=0 (2) （注：这里（2）和（1）式子里的a，一般是不一样的。）于是又可估计满足新方程（2）的根的最高位数字。

如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。如果从原方程（1）的系数a[0],a[1]，…，a[n]及估值c求出新方程（2）的系数a[0],a[1]，…，a[n]的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”，他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。

1.3 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。

多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。

朱世杰的《四元玉鉴》（1303年）一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。

“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。

通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。

这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 1.4 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1,2,。

,n (1) （其中ai 是两两互素的整数）的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。

现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 1.5 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程。

六、产量递减分析是谁最先提出的

气田进入产量递减期后，一般通过Arps递减方程，应用典型曲线拟合或坐标变换法来研究递减规律。

这些分析方法必须首先给定Arps进行了研究递减方程的形式，然后再求取有关的递减参数，因而不仅计算工作量大，而且带有很大的人为误差，求取的递减参数一般不是最优的，预测结果往往偏差较大。分析认为，根据已获得的生产历史数据，经过一定的加工处理来预测气田产量，其准确程度既取决于所使用的数学模型，又取决于所使用的数据处理方法。

为此提出了用模拟退火算法求取递减参数的新方法，该方法应用全局优化理论，依据通用递减方程，将递减参数的求解问题转化为最优化问题，然后再根据求取的递减参数判别递减类。

七、计算机的发展经历了哪几个阶段

发展历史（1）大型主机阶段 20世纪40-50年代，是第一代电子管计算机。

经历了电子管数字计算机、晶体管数字计算机、集成电路数字计算机和大规模集成电路数字计算机的发展历程，计算机技术逐渐走向成熟。；（2）小型计算机阶段 20世纪60-70年代，是对大型主机进行的第一次“缩小化”，可以满足中小企业事业单位的信息处理要求，成本较低，价格可被接受；（3）微型计算机阶段 20世纪70-80年代，是对大型主机进行的第二次“缩小化”，1976年美国苹果公司成立，1977年就推出了AppleII计算机，大获成功。

1981年IBM推出IBM-PC，此后它经历了若干代的演进，占领了个人计算机市场，使得个人计算机得到了很大的普及；（4）客户机/服务器即C/S阶段。随着1964年IBM与美国航空公司建立了第一个全球联机订票系统，把美国当时2000多个订票的终端用电话线连接在了一起，标志着计算机进入了客户机/服务器阶段，这种模式至今仍在大量使用。

在客户机/服务器网络中，服务器是网络的核心，而客户机是网络的基础，客户机依靠服务器获得所需要的网络资源，而服务器为客户机提供网络必须的资源。C/S结构的优点是能充分发挥客户端PC的处理能力，很多工作可以在客户端处理后再提交给服务器，大大减轻了服务器的压力；（5）Inter阶段也称互联网、因特网、网际网阶段。

互联网即广域网、局域网及单机按照一定的通讯协议组成的国际计算机网络。互联网始于1969年，是在ARPA（美国国防部研究计划署）制定的协定下将美国西南部的大学（UCLA（加利福尼亚大学洛杉矶分校）、Stanford Research Institute（史坦福大学研究学院）、UCSB（加利福尼亚大学）和University of Utah（犹他州大学））的四台主要的计算机连接起来。

此后经历了文本到图片，到现在语音、视频等阶段，宽带越来越快，功能越来越强。互联网的特征是：全球性、海量性、匿名性、交互性、成长性、扁平性、即时性、多媒体性、成瘾性、喧哗性。

互联网的意义不应低估。它是人类迈向地球村坚实的一步；（6）云计算时代从2008年起，云计算（Cloud puting）概念逐渐流行起来，它正在成为一个通俗和大众化（Popular）的词语。

云计算被视为“革命性的计算模型”，因为它使得超级计算能力通过互联网自由流通成为了可能。企业与个人用户无需再投入昂贵的硬件购置成本，只需要通过互联网来购买租赁计算力，用户只用为自己需要的功能付钱，同时消除传统软件在硬件，软件，专业技能方面的花费。

云计算让用户脱离技术与部署上的复杂性而获得应用。云计算囊括了开发、架构、负载平衡和商业模式等，是软件业的未来模式。

它基于Web的服务，也是以互联网为中心。

八、牛顿

1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。

1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。

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