知识大全高等数学二重积分这道题里面的换算公式是什么

Posted 2022-07-29 知

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高等数学二重积分这道题里面的换算公式是什么

e^(-y^2)的导数是-2y*e^(-y^2)
所以可以提取到积分后面，原来y^3降一次为y^2，1/3减少-2倍为-1/6

高等数学二重积分

后面对x的积分，被积函数里没有x，相当于常数，所以原函数只用乘一个x，再把x=y和x=0代入化简，放到第一个积分里面，就出现画圈部分了

e^-2pi < 1，因此 n 次方极限为 0 ，
原式 = pi/2*(1+e^-pi) / (1-e^-2pi) = pi / [2(1-e^-pi)] 。
（分母用平方差公式，与 1+e^-pi 约分）

体积V即以闭域D:x²+y²=a²为底，z=f(x,y)为曲顶的立体的体积
∴V=∫∫(D) z dxdy 其中D=(x,y)|x²+y²=a²
转换到极坐标系
V=∫∫(D) z dxdy
=∫∫(D) xy dxdy
=∫∫(D) (rcosθ)(rsinθ)r drdθ
=4∫(0→π/2)(sinθcosθ)dθ∫(0→a)r³dr
=4[(sin²θ/2)|(0→π/2)]*[(r^4/4)|(0→a)]
=4*(1/2)*(a^4/4)
=a^4/2

(1) 0 ≤ (sinx)^2 (siny)^2 ≤ 1, 0 ≤ I ≤ π^2
(2) 9 ≤ 4x^2+4y^2+9 ≤ 25, 9(4π) ≤ I ≤ 25(4π), 36π ≤ I ≤ 100π

这种题只是拿x＋y的范围和1比，题目中的那个圆在x＋y＝1的上面，不用管它具体是在哪里，既然大于1，那么次数越高就越大

当二重积分里面的多项式因式只含有一个未知数，可以采用这种方法，特殊的，多项式只有一项，可以理解为1和多项式相乘，这里的1可以是只关于x的函数，也可以是只关于y的函数。然后可以提取这样的因式，求出未知数的范围，这里的范围是确切的，积分式写前面。再写另一个因式，求出另一个未知数范围，这里的范围要用前一个未知数表示。
不知道你懂没，这个书上有一两页专门讲，多看看说明，不要跳过

这个题目是比较经典的一个题目了，网上很多人给出了解答。本来想自己回答一下，看到一个还不错的回答，你可以参考一下，能帮到你就好。感谢原作者。网页链接

你不懂的地方应该是y(x)到y(t)的转换，我的建议你可以这样想，y(x),y(t),x(t)是三个方程，如果将其中一个字母当做自变量，其余两个字母作为函数，只需要两个方程就是表示一条曲线。即y(x),y(t),x(t)中知道两个方程，就能得到第三个方程。推导到需要y(x)转换到y(t)的地方，相当于已知y(x),x(t)，需要求y(t)，显然，直接代入y(t)表达式就可以了。

3. I = ∫<下0, 上1> dy ∫<下y, 上10y> √y√(x-y) dx
= ∫<下0, 上1> √ydy (2/3)[(x-y)^(3/2)]<下y, 上10y>
= ∫<下0, 上1> √y 27y√ydy = 18 ∫<下0, 上1> y^2dy = 6 , 选 C

1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4, e^(x^2+y^2) 最小值是 e^1, 即 e，最大值是 e^4，即得。

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高等数学二重积分

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