知识大全 n趋向无穷，1/(n+2)+1/(n+4)+1/(n+6)+……+1/(n+2n)=?

Posted 2022-07-27 知

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高数题求帮助：n趋向无穷，1/(n+2)+1/(n+4)+1/(n+6)+……+1/(n+2n)=?

解：lim(n->∞)(1/(n+2）+1/(n+4)+.........+1/(n+2i)+....+1/(n+2n)) =lim(n->∞)[1/n((1+2*1/n)+1/(1+2*2/n)+...+1/(1+2*i/n)+...+1/(1+2*n/n))] =∫(0,1)dx/(1+2x) (应用积分定义) =[ln(1+2x)/2]|(0,1) =ln3-ln1 =ln3.

求值1/n(n+2）+1/（n+2)(n+4)+1/(n+4)(n+6)+1/(n+6)(n+8)+1/(n+8)(n+10)+1/(n+10)(n+12)=

1/n(n+2）+1/（n+2)(n+4)+1/(n+4)(n+6)+1/(n+6)(n+8)+1/(n+8)(n+10)+1/(n+10)(n+12) =1/2[1/n-1/(n+2)+1/（n+2)-1/(n+4)+1/(n+4)-1/(n+6)+1/(n+6)-1/(n+8)+1/(n+8)-1/(n+10)+1/(n+10)-1/(n+12)] =1/2[1/n-1/(n+12)]

当n趋向于无穷时，求n^(1/2)*[n^(1/n)-1]的极限（求帮助）

解记
h(n) =n^(1/n)-1，
有
h(n) > 0，
且
n = [h(n)+1]^n > [n(n-1)(n-2)/6][h(n)]^3，
可得
0 < h(n) <[6/(n-1)(n-2)]^(1/3)，
于是
0 <n^(1/2)*[n^(1/n)-1] < n^(1/2)*[6/(n-1)(n-2)]^(1/3) → 0 (n→inf.)，
据夹逼定理，即得
　　n^(1/2)*[n^(1/n)-1] → 0 (n→inf.)。

当n趋向于正无穷，lim(n^1/2+(n+1)^1/2)*((n+2)^1/2-n^1/2)等于多少？

分子分母同乘(根号(n 2) 根号(n))，然后分子分母同除根号n，然后就简单了。

求极限 n趋向于无穷大 lim n^2[k/n-1/(n+1)-1/(n+2)-……-1/(n+k)]

k/n -1 /(n+1) - 1/(n+2)-……-1/(n+k)
= [1/n - 1/(n+1)] + [1/n - 1/(n+2)] + [1/n-1/(n+3)] + ...... + [1/n - 1/(n+k)]
= 1/[n(n+1)] + 2 / [n (n+2)] + 3 /[n(n+3)] + ...... + k / [n(n+k)]
原式 = lim(n->∞) n² 1/[n(n+1)] + 2 / [n (n+2)] + 3 /[n(n+3)] + ...... + k / [n(n+k)]
= 1 + 2 + 3 + ...... + k
= k(k+1)/2

求当n趋于无穷时，[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+.+[1/(n+n)]的值。

分子分母同时除以n化为
∑(i=1-->n)1/n *1/(1+i/n)
再用定积分原极限=∫(0-->1)1/(1+x)dx=ln(1+1)-ln(1+0)=ln2

数学题，怎么求当n趋向于无穷大时1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)的极限呀

楼主这道题出得很好！我想了一遍，深受启发。
令S(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)，n∈N
有S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n)
于是可构造另外一个序列：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n)，其和也为S(n)
那么S(n)=∑a(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
n→∞时，这是一个无穷级数
关于此级数的和，我在参考资料中解答过，现copy如下：
设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+ …
两边对x求导得：f\'(x)=1-x+x^2-x^3+ …
注意到当-1<x<1时，有f\'(x)+x*f\'(x)=1，所以有
f\'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0
解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)
易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有
f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2

求数学高手帮忙解题啊求极限 lim n[1/(n^2+1)+1/(n^2+2^2）+……+1/(n^n+n^n)] (n趋向于无穷大，n^n表示n

=lim n^2·[1/(n^2+1)+1/(n^2+2^2）+……+1/(n^n+n^n)] /n
=lim [n^2/(n^2+1)+n^2/(n^2+2^2）+……+n^2/(n^n+n^n)]·(1/n)
=lim [1/(1+(1/n)^2) +1/(1+(2/n)^2) +……+ 1/(1+(n/n)^2))]·(1/n)
=∫《x从0到1》1/(1+x²) dx
=arctanx |《x从0到1》
=arctan1 - arctan0
=π/4

当n趋向无穷大时，1/n乘于sin(1/n)等价于1/(n^2)吗？

等价

n→∞
1/n→0
sin(1/n)→1/n
1/n乘以sin(1/n)→(1/n)(1/n)=1/n²

证明[（n+1)^1/2-n^1/2]/[(n+2)^1/2-(n+1)^1/2]=1在n→无穷时成立

lim(n->+∞)【√(n+1)-√n)】/【√(n+2)-√(n+1)】
=lim(n->+∞)【(√(n+1)-√n)* (√(n+1)+√n ) *(√(n+2)+√(n+1))】
/【(√(n+1)+√n ) *(√(n+2)+√(n+1))*(√(n+2)-√(n+1))】
=lim(n->+∞)【√(n+2)+√(n+1)】/【√(n+1)+√n】
=lim(n->+∞)【√(1+2/n)+√(1+1/n)】/【√(1+1/n)+1】
=2/2=1