知识大全已知数列an中，an=n(2的n次方-1),其前n项和为Sn,则Sn+1/2n(n+1)等于?

Posted 2022-07-27 数列

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已知数列an中，an=n(2的n次方-1),其前n项和为Sn,则Sn+1/2n(n+1)等于?

an=n(2^n-1)
an=n*2^n-n
a1=1*2^1-1
a2=2*2^2-2
a3=3*3^3-3
....
an=n*2^n-n
Sn=a1+a2+a3+....+an
=1*2^1-1+2*2^2-2+3*3^3-3+....+n*2^n-n
=1*2^1+2*2^2+3*3^3+....+n*2^n-(1+2+3+...+n)
=1*2^1+2*2^2+3*3^3+....+n*2^n-(1+n)*n/2
2Sn=1*2^2+2*2^3+3*3^4+....+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)-(1+n)*n
Sn-2Sn=2^1+2^2+2^3+....+2^n-n*2^(n+1)+(1+n)*n/2
=2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)+(1+n)*n/2
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)+(1+n)*n/2
=2^(n+1)(1-n)-2+(1+n)*n/2
Sn=2^(n+1)(n-1)+2-(1+n)*n/2
Sn+1/2n(n+1)
=2^(n+1)*(n-1)+2-(1+n)*n/2+1/2*n(n+1)
=(n-1)*2^(n+1)+2

已知数列an的前n项和为sn=2n/n+1,则1∕a8等于?

解：由sn=2n/n+1得 sn-1=2(n-1)/n
an=sn-sn-1
∴an=2/[n（n+1)]
a1=s1=1满足an=2/[n（n+1)]
∴1/a8=36
望采纳！

已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且2n（Sn+1）－2（n+1）Sn，=n²+n（n∈N*）

2nS(n+1)-2(n+1)Sn=n^2+n=n(n+1)
2S(n+1)/(n+1)-2Sn/n=1
2S1/1=2a1=2
所以，2Sn/n=2、Sn=n。
n>=2时，an=Sn-S(n-1)=n-(n-1)=1，n=1时也适合此式。
所以，通项公式为an=1，其中n为正整数。

已知数列an的前n项和为Sn，a1＝2，a（n＋1）＝Sn＋1，则a6等于

a（n＋1）－an = an (n>1)
则a（n＋1）= 2an
显然是等比数列，公比为2，不过从原数列的第二项开始
a2=a1+1=3,
则a6=a2*2的四次方=3*2的四次方=48

已知数列an的前n项和为sn，a1=2，nan+1=sn+n（n+1），设bn=sn/2n，bn小于等于t，

na(n＋1)=n[S(n＋1)－Sn]=Sn＋n(n＋1)，即nS(n＋1)=(n＋1)Sn＋n(n＋1)，两边除以n(n＋1)，得：[S(n＋1)]/(n＋1)－[Sn]/n=1=常数，则(Sn)/n是以(S1)/1=a1=2为首项、以d=1为公差的等差数列，得：(Sn)/n=n＋1，所以Sn=n(n＋1)，bn=(Sn)/(2n)=(n＋1)/2，……

已知数列｛an的前n项和为Sn＝3的n次方，数列｛bn｝满足b1＝－1,b(n+1)=bn+(2n

1
an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2 * 3^(n-1)
2
bn+1=bn+(2n-1)
bn=bn-1+(2n-3)
..
b2=b1+1
b1=-1
Sbn=Sbn-1 -1 +[1+(2n-3)](n-1)/2
Sbn-Sbn-1=(n-1)^2-1
bn=(n-1)^2-1

已知数列 an 的前n项和为Sn=1/2n^2+1/2n n∈N*

Sn=1/2n^2+1/2n
a1=S1=1/2+1/2=1
n>=2时
an
=Sn-S(n-1)
=(1/2n^2+1/2n)-(1/2(n-1)^2+1/2(n-1))
=n
∵a1=1满足an=n,n>=2
∴an=n,n∈N*
bn=1/[(n+2)*an]
=1/[(n+2)n]
=1/2*[1/n-1/(n+2)]
∴Tn
=b1+b2+....+bn
=1/2*(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+......
+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=1/2*(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=1/2*(3/2-(2n+3)/[(n+1)(n+2)])
=3/4-(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]
∵n∈N*
∴3/4-(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]<3/4
∴Tn<3/4
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已知数列an的通项为an=（n+2）/n（n+1）2^(n－1)，则其前n项和Sn=？

an=（n+2）/[n*（n+1）*2^(n－1)]
let
(n+2)/[n(n+1)] = A/n + B/(n+1)
=> n+2 = A(n+1) +Bn
put n=0
A=2
put n=-1
B= -1
ie
an = (2/n -1/(n+1) ) (1/2)^(n-1)
Sn = a1+a2 +...+an
= (2/1 - 1/2) + ( 1/2 -1/6) + (1/6 - 1/16) +....+ (2/n)(1/2)^(n-1) -[1/(n+1)](1/2)^(n-1)
= 2 - 1/[(n+1). 2^(n-1)]

已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2^n+1,则a1^2+a2^2+.+an^2等于

当n=1 a1=s1=3
当n大于等于2 an=sn-sn-1=2\'n-2\'(n-1)=2\'(n-1)
所以令Tn=a1^2+a2^2+...+an^2
当n=1 TN=n
当n≥2时，an=2^(n-1).
它是一个首项为1，公比为2的等比数列，
那么以an的平方作为通项的数列就是一个以1为首项，公比为4的等比数列。
∴a1的平方+a2的平方+a3的平方+.......+an的平方为:
3+（1-4^(n-1))/(1-4)=(4^(n-1)+8)/3.

已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2–(2/n+1)an

a1=S1=2-[(2/1)+1]a1
整理，得4a1=2 a1=1/2
n≥2时，
Sn=2-[(2/n)+1]an
Sn-1=2-[2/(n-1) +1]a(n-1)
Sn-Sn-1=an=2-[(2/n)+1]an-2+[2/(n-1) +1]a(n-1)
整理，得
[2(n+1)/n]an=[(n+1)/(n-1)]a(n-1)
2an/n=a(n-1)/(n-1)
(an/n)/[a(n-1)/(n-1)]=1/2，为定值。
a1/1=(1/2)/1=1/2
数列an/n是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an/n=(1/2)×(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ

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