知识大全求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极大值

Posted 2022-07-27 函数

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求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极大值

f(x,y)=4(x-y)-x²-y²
=2(x-y)-（x-y）²
令x-y=a
∴f(x,y)=-a²+2a
配方 =-（a-1)²+1
∵（a-1)²≥0
∴-（a-1)²+1≤1
函数f(x,y)=4(x-y)-x²-y²的极大值为1

求函数f(x,y)=2(x-y)-x^2-y^2的极大值

分别对x和y求偏导：
1..........df/dx=2-2*x;
2..........df/dy=-2-2*y;
极大值的两个偏导数都为0，所以1、2式都为0，求得x=1，y=-1
再带入f(x,y)中，得极大值为2

求函数f(x,y)＝xyln(x^2＋y^2)的极大值点

fx(x,y)=yln(x^2+y^2) +2x^2y/(x^2+y^2)=0 （*）
fy(x,y)=xln(x^2+y^2) +2xy^2/(x^2+y^2)=0
移项，相除得
y/x=x/y
x=y或x=-y
1.x=y代入（*）得
yln2y^2=-y
ln2y^2=-1,2y^2=1/e,y^2=1/2e
x=y=1/√2e,或-1/√2e
2.x=-y代入（*）得
yln2y^2=-y
ln2y^2=-1,2y^2=1/e,y^2=1/2e
x=-y=1/√2e,或-1/√2e
下面继续求二阶偏导数再判断，可得结论！自己做吧！

求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2 的极值？

f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2
=-(x^2-4x+4)-(y^2+4y+4)+8
=-(x-2)^2-(y+2)^2+8<=8
在x=2,y=-2时取等号。

函数f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2+1的极大值点是（），极大值是（）。

解 F\'x(x,y)=3x^2-8x-2y=0 F\'y(x,y)=-2y-2x=0
求得 x=0,2 y=0,-2
对于第一组解0，0
fxx(0,0)=-8 fxy(0,0)=-2 fyy(0,0)=-2
-8*-2-(-2)^2=12>0 又因 -8<0 所要（0，0）为极大值点

求函数y=x^2-(1/2)x^4的极大值和极小值，

y=x^2-(1/2)x^4=-1/2x^4+x^2=-1/2(x^4-2x^2)=-1/2(x^2-1)^2+1/2
所以y的最大值为当x^2=1时取得y=1/2
没有极小值。

求函数y=2x+1/x^2的极大值和极小值

y\'=[(2x+1)\'x²-(2x+1)(x²)\']/x^4
=[2x²-4x²-2x]/x^4
=-2(x²+x)/x^4
=0
=>x1=-1,x2=0
y\'>0=>-1<x<0
y\'<0=>x<-1或x>0
∵x=0为y的间断点
∴函数y=2x+1/x^2无极大值，极小值为y(-1)=-1

函数f（x，y）=xe?x2?y2在点（x，y）=处取得极大值

由f（x，y）=xe?x2?y2，得
fx＝(1?2x2)e?x2?y2，fy＝?2xye?x2?y2
令f_x=f_y=0，解得驻点(

，0)和(?

，0)
又fxx＝(?6x+4x3)e?x2?y2，fxy＝?2y(1?2x2)e?x2?y2，fyy＝(?2x+4xy2)e?x2?y2
∴①当（x，y）=(

，0)时，A＝(2?3

)e?

，B=0，C＝?

求函数y=2x/x^2+1的极大值和极小值

因为(x-1)^2>=0
展开得：x^2+1>=2x
所以2x/(x^2+1)<=1, 当x=1时最大
同样，(x+1)^2>=0, 得：2x>=-(x^2+1),所以2x/(x^2+1)>=-1，当x=-1时最小
因此y的极大值为1，极小值为-1

求函数y=2x^3-3x^2的极大值与极小值

求导
y\'=2*3x^2-3*2x=6x(x-1)
令y\'>0得x∈(负无穷,0)∪(1,正无穷)
所以f(x)在(负无穷,0)∪(1,正无穷)单调增，在(0,1)单调减
所以在x=0处取极大值f（0）=0
在x=1处取极小值f（1）=2-3=-1

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