知识大全对于函数f(x),若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立

Posted 2022-07-27 函数

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函数题目：对于函数f(x),若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立

(1) 当a=1,b=-2时, 令f(x)=x^2-x-1=x
可解得 x=1加减(根号2)
这两个就是f(x)的不动点
(2) 令f(x)=x 可得ax^2+bx-1=0
因为f(x)恒有两个相异的不动点
即ax^2+bx-1=0恒有两解
所以判别式=b^2-4ac=b^2+4a>0恒成立
a>(b^2)/4恒成立
(b^2)/4大于等于0
所以a>0 此即a的取值范围~~
这道题不算难~可以算是高中阶段的中档题目~ 祝LZ学业有成

对于函数f(x),若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，

f(x)=x^2\\(2x-2)
an=-n
Tn=(1-n)*2^(n+1)-2
方法：第一问首先把0，2分别带进去，可得a=0，2b-c=0，然后代如不等试，把c用b表示，可得b的范围是1\\2~5\\2，所以b只能是1或2，又b=1时只有一个不动点（另一个是增根）,所以b=2,c=2.
第二问直接代，然后再写个Sn-1，上下一减。
第三问错位相减，2Tn-Tn

10、对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0) =x0成立,则称x0为的“滞点”,已知函数f(

【1】这个点，一般叫做不动点。
【2】f(x) = x
即 (2 x^2 - a) / (x - 2a) = x
2 x^2 - a = x^2 - 2ax
x^2 + 2ax -a = 0 (*)
方程（*）在[-1, 1]的范围内有解。
设 g(x) = x^2 + 2ax -a
【3】（1）只有一个解
(x + a)^2 - (a^2 + a) = 0 即 a^2 + a = 0, -1 <= a <= 1
故 a = 0 或者 -1
（2）有两个不同的解
即 -1 <= a <= 1, a^2 + a < 0, g(-1) >=0, g(1) >= 0
故 -1 < a < 0
综上，-1 =< a =< 0

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x0）的“滞点”，已知函数f（x）=x22x?2．

（1）由f（x）=x得

2x?2

=x，即x²-2x=0（x≠1），
解得x=0，或x=2，
∴函数f（x）=

2x?2

有两个滞点0和2．
（2）由已知4S_n?f（

）=1，得4S_n?（

）²=2（

-1），
∴2S_n=a_n-a_n²①，
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²②，
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，即a_n是等差数列，且d=-1，
当n=1时，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1，
∴a_n=-n．

对于函数 f（x），若存在x0∈R，使 f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=x22x?

（I）由f(x)＝

2(x?1)

，
令f（x）=x，…（2分）
得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．
即f（x）存在两个滞点0和2．…（4分）
（II）由题得4Sn?(

)2＝2(

?1)，
∴2S_n=a_n-a_n²…①…（5分）
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²…②
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，
即a_n是等差数列，且d=-1…（9分）
当n=1时，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1
∴a_n=-n…（11分）
（III）∵T_n=-1?2-2?2²-3?2³-…-n?2ⁿ…③
∴2T_n=-1?2²-2?2³-3?2⁴-…-（n-1）?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹…④
由④-③得T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝2n+1?2?n?2n+1…（14分）

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）=x+bx+c

-2<b<4

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x2+bx+c（1）

（1）f（x）=x²+2x-6，
由f（x）=x
∴x²+x-6=0
∴（x-2）（x+3）=0
∴x=2或x=-3
∴f（x）的不动点为2或-3
（2）∵f（x）有两个不动点±

，即f（x）=x有两个根±

∴x²+（b-1）x+c=0
∵

＝b?1，?

＝c
∴b=1，c=-2
∴f（x）=x²+x-2
令f（x）=0
即（x+2）（x-1）=0
解得x=-2或x=1
∴f（x）的零点为x=1或x=-2
（3）f（x）＞0
∴（x+2）（x-1）＞0
∴x＞1或x＜-2
∴f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点；已知f（x）=x2+bx+c．（1

（1）∵f（x）有两个不动点为-3，2，
∴-3，2是方程x²+bx+c=x的两根，
整理得：x²+（b-1）x+c=0，
∴-3+2=1-b，-3×2=c，
∴b=2，c=-6．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+2x-6
由f（x）=0得其零点为x_1，2=

?2±

4?4×1×(?6)

=-1±

．
（2）∵c=

时，函数f（x）没有不动点，
∴x²+（b-1）x+

=0无实数根，
∴△=（b-1）²-9＜0，解得-2＜b＜4．
∴实数b的取值范围为：-2＜b＜4．

对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f

对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点；若f[f(x0)]=x0，则称x0为f(x)的稳定点。函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A和B，即A=｛x︱f[f(x)]=x｝
（1）设函数f(x)=3x+4 求集合A和B
（2）求证A含于B
（3）设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0），且A=∅，求证：B=∅
解：
1.由f(x)=x，f(x)=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f(x)]=x得3(3x+4)+4=x，解得x=-2
∴A=B=-2
但A=B不能恒成立，如f（x）为如下对应关系时：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
则有A=1，B=1，2，3使A≠B
(2)
∵A=x|f[f（x）]=x=∅，
∴ax²+bx+c=x无解
即△=(b-1)²-4a＜0
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，即y=ax²-+（b-1）x+c的图象在x轴的上方
∴∀x∈R，f（x）-x恒成立
∴∀x∈R，f（x）＞x恒成立
∴∀x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②当a＜0时，同理可证B=∅；
综上，对于函数f（x）=ax²-+bx+c（a≠0），
当A=∅时，B=∅
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对于函数f(x),若存在x0属于R,使f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点

题目的已知中有一个笔误，f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1) 下面回答(2)
由不动点的定义知：
对任意实数，函数f(x)恒有两个相异不动点等价于
关于x的方程f(x)=x恒有两个相异的实根.
即方程ax^2+bx+(b-1) =0对应的Δ恒>0
所以b^2+4a(b-1)>0对于任意的b 属于R恒成立。
方法一：借助函数g(b)=b^2+4a（b-1)的图像恒在横轴的上方，知
b^2+4ab-4a=0 对应的Δ<0
即 (4a)^2+16a<0
得 -1<a<0
方法二：参数分离
当b-1=0,即b=1时，1>0恒成立，a 属于R；
当b-1>0,即b>1时，由4a>-b^2/(b-1)恒成立，-b^2/(b-1)的最大值为-4，知a >-1；
当b-1<0,即b<1时，由4a<-b^2/(b-1)恒成立，-b^2/(b-1)>0，知a <0；
综上，-1<a<0
（3）中的问题与（2）中的得到的a有矛盾。
可能题目是f(x)=ax^2-(b+1)x+(b-1)
时间关系无法细答，和上述解答类似。

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