知识大全微分方程y"+y=8的一个特解是多少~求详细答案

Posted 2022-07-27 方程

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微分方程y"+y=8的一个特解是多少~求详细答案

过程如下：（写成y\'\'-y\'=x的形式比较标准）
（1）解其齐次方程y\'\'-y\'=0的特征方程m^2-m=0
解得m^2-m=0的特征解为0和1，
由于"0"是单重特征根，
所以特解的形式应为xQ(x)，即ax^2+bx形式，
设为 xQ(x)=ax^2+bx
代入原方程y\'\'-y\'=x得
2a-2ax-b-=x
比较两边相应的项的系数得
a=-1/2，b=-1
则特解xQ(x)=-1/2x^2-x
（2）由齐次方程y\'\'-y\'=0的特征解为0和1，
得通解为
y=Ce^x+C\'
（3）所以原方程解为
y=Ce^x+C\'-1/2x^2-x=Ce^x-1/2x^2-x+C\'

求解一微分方程：y"=ky.

y"=ky两边同时乘以2y\'得：2y\'y\'\'=2kyy\'即[(y\')^2]\'=k[y^2]\'积分得(y\')^2=ky^2+A即y\'=±√(A+ky^2)下面对A、k分类讨论。然后使用代换如果根号下为1-z^2，则令z=sint如果根号下为1+z^2，则令z=tant如此你就得到三角形式的解了。

求微分方程y″+5y′=2x+e-5x的一个特解

由于微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的特征方程为r²+5r=0，解得特征根为r=0、r=-5
因此y″+5y′=0通解为y＝C1+C2e?5x
又微分方程y″+5y′=2x的f（x）=2x，其f（x）=2x，而λ=0是特征根，
故其特解为y₁=x（ax+b），代入到微分方程y″+5y′=2x，解得a＝

，b＝?

即y″+5y′=2x的特解为y1＝

x(x?

)
又微分方程y″+5y′=e^-5x的f（x）=e^-5x，λ=-5是特征根
故其特解为y2＝cxe?5x，代入到微分方程y″+5y′=e^-5x，解得：c＝?

即微分方程y″+5y′=e^-5x的特解为y2＝?

xe?5x
∴微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的一个特解为y1+y2＝

x(x?

xe?5x

微分方程 x2y\'=(xy)2-xy-1 的一个解是多少？

x^2y\'=(xy)^2-xy-1
记xy=p
y\'=(p\'x-p)/x^2
p\'x-p=p^2-p-1
p\'x=p^2-1
dp/(p^2-1)=dx/x
ln|(p-1)/(p+1)|=2ln|x|+C
(p-1)/(p+1)=(xy-1)/(xy+1)=Cx^2

设y＝y(x)是微分方程(3x²+2)y″＝6xy′的一个特解

设y\'=p(x),则(3x^2+2)p\'=6xp,
∴dp/p=6xdx/(3x^2+2),
积分得lnp=ln(3x^2+2)+lnc,
∴p=c(3x^2+2)=y\'
∴y=c(x^3+2x)+c2,
当x→0时，y(x)是与e∧x-1即x等价的无穷小量,
∴y=(1/2)(x^3+2x),为所求。

微分方程y"+8y\'+16y=0通解为？

解：
特征方程：r²+8r+16=0
(r+4)²=0
特征解：r1=r2=-4
所以微分方程的通解：y=(C1+C2x)e^(-4x)

解微分方程：y"=1/(根号y)

我请教同学，他告诉我一个特解
y1=3√（81\\16）*x^(4\\3)
这个方程因为不是线性的，有点用特殊
等我明天做出来了就修改答案
.............没做出来
只能请教老师了= =、

微分方程y’’+4y=0 的通解是y=多少,要有详细过程

解：y’’+4y=0的特征值方程是r^+4=0
r=±2i
∴通解是y=ae^(2ix)+be^(-2ix)
其中实数通解是
y=acos2x+bsin2x

y"+9y=xsin3x 求解微分方程

(x*sin(3*x))/36 - (x^2*cos(3*x))/12 + C1*cos(3*x) + C2*sin(3*x)
matlab求解的, 过程参考书本上一步步来

解微分方程y"+9y=sin3x

常数变易法
先解y\'\'+ 9y = 0
其特征方程为t² + 9 = 0
t = ±3i
则通解为y = C1cos3x + C2sin3x
现在令y\'\'+ 9y = sin3x有形如y = f(x)cos3x + g(x)sin3x的解，且令y\' = f(x)[cos3x]\' + g(x)[sin3x]\'，得到f\'(x)cos3x + g\'(x)sin3x = 0
代入原式得到，- 3f\'(x)sin3x - 9f(x)cos3x + 3g\'(x)cos3x - 9g(x)sin3x + 9f(x)cos3x + 9g(x)sin3x = sin3x
化简，- 3f\'(x)sin3x + 3g\'(x)cos3x = sin3x
由f\'(x)cos3x + g\'(x)sin3x = 0
联立解得f(x) = (sin6x)/36 - x/6 ，g(x) = -(cos6x)/36
则其中一个特解为y = (sin6xcos3x)/36 - (xcos3x)/6 - (sin3xcos6x)/36 = (sin3x)/36 - (xcos3x)/6
则原方程通解为y = C1cos3x + C2sin3x + (sin3x)/36 - (xcos3x)/6
也可以写作y = C1cos3x + C2sin3x - (xcos3x)/6

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