知识大全过点(2,0)M作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB(A，B为切点），则向量MA.向量MB=

Posted 2022-07-27 知

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过点(2,0)M作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB(A，B为切点），则向量MA.向量MB=

连接圆心和切点构成直角三角形半径是一斜边长为二是三十度直角三角形看懂了吧过切点做直线垂直X轴通过特殊角的直角三角形求啥都能求出来若是坐标则向量MA为（3/2 . 负根三）

过点M(2.0)作圆X方+Y方 =1的两条切线MA MB A.B为切点则向量MA 乘向量MB等于

X=Ky+2再与圆联方程
再求切点
再用向量换算
难在对x=Ky十2的技巧

已知圆x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点。求向量PA乘向量PB的最小值

解：PA*PB=|PA|*|PB|*cos∠APB
∠APB=2∠APO=2∠BPO
|PA|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
|PB|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
cos∠APB=cos2∠APO=1-2sin²∠APO=1-2(OA/AP)²
=1-2[1/√(OA²+OP²)]²=1-2/(OA²+OP²)=1-2/(1+OP²)
PA*PB=|PA|*|PB|*cos∠APB=√(OP²+1) * √(OP²+1) * [ 1-2/(1+OP²) ]
=1+OP²-2=OP²-1
OP为圆心O到点P的距离，
显然，当OP⊥直线l时，距离OP最短
此时,OP=3/√5
所以，向量PA乘向量PB的最小值=(3/√5)²-1=4/5

圆x^2+y^2=1,过圆外任一点M做圆的切线,切点为A,B,求向量MA×向量MB的最小值

解：圆心为O，｜OM|=x(x>1)，角OMA=a , |OA|=|OB|=1,画出简图；
|MA|=|MB| |MA|^2=x^2-1 sina=1/x
MA*MB=|MA|^2* cos2a=(x^2-1)(1-2Sina*sina)=(x^2-1)(1-2/x^2)=x^2+2/x^2-3>=2根号2-3.
向量MA×向量MB的最小值为：2根号2-3.

过点M(a,1)作抛物现x2=4y的两条切线MA MB A .B为切点求证A.B过定点及坐标

过M直线方程为y=k（x-a）+1
带入抛物线方程，Δ=0，得到k与a的关系以及A、B坐标（用a表示）
由此得到AB方程为y=（a/2）x-1
所以AB过定点（0，-1）

过点P(2,0)作圆x2+(y-2)2=1的切线,切点分别为A,B,求向量PA·PB=

圆x2+(y-2)2=1圆心C(0,2),半径r=1
|PC|²=(2-0)²+(0-2)²=8
|PC|=2√2
∴|PA|=|PB|=√(|PC|²-r²)=√7
连接AB,设AB∩PC=D
则AD⊥PC
∴|AD|*|PC|=|PA|*|AC|
∴|AD|=√7*1/(2√2)=√14/4
∴|AB|=√14/2
∵向量AB=向量PB-向量PA
∴|AB|=|向量PB-向量PA|
∴|AB|²=|PB|²+|PA|²-2PA·PB
∴2PA·PB=|PB|²+|PA|²-|AB|²
=14-14/4=21/2
∴PA·PB=21/4

过圆X2+Y2=1外一点M(2,3),做这个圆的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,求直线AB的方程

以圆心O和M为直径的圆的方程是x(x-2)+y(y-3)=0
即x^2-2x+y^2-3y=0
那么与圆的方程x^2+y^2=1相减得到2x+3y=1，即为所求AB的方程。

设点M(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点,过点M作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程。

设不同的两切点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则
切线PA的方程为x1·x＋y1·y = r²
切线PB的方程为x2·x＋y2·y = r²
∵P(a,b)既在直线PA的方程上，也在直线PB的方程上
∴a·x1＋b·y1 = r²
a·x2＋b·y2 = r²
∴A(x1,y1)、B(x2,y2)都在直线方程ax＋by=r²上
又由过A(x1,y1)、B(x2,y2)不同两点的直线有且只有一条知，
∴直线AB的方程为ax+by = r²

过点M（m，0）且斜率为-√3/3的直线与圆x2+y2=1交于两点A，B，且向量AM=2向量MB，求m的值

设交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
设过点M(m,0)的直线为y=-√3/3*(x-m)
带入圆方程得
x^2+(x-m)^2/3=1，整理得
4x^2-2mx+m^2-3=0，由韦达定理有
x1+x2=m/2, x1x2=(m^2-3)/4; y1+y2=-(x1+x2-2m)/√3=√3/2*m
y1y2=(x1-m)(x2-m)/3=[x1x2-m(x1+x2)+m^2]/3=(m^2-1)/4
又向量AM=(m-x1,-y1), 向量MB=(x2-m,y2)
且向量AM=2向量MB
∴有m-x1=2(x2-m), -y1=2y2
与上述韦达定理所得等式联立，可解得
x1=-2m, x2=5m/2
y1=√3*m, y2=-√3/2*m
m^2=1/7, m=±√(1/7)
∴m的取值为m=±√(1/7)

过M（a，0）的直线交圆O:x^2+y^2=25于AB，若向量MA*向量MB=-16，则a=

设AB为y=k（x-a），A（x1，y1）B（x2，y2）
向量MA*向量MB=-16=（x1-a，y1）*（x2-a，y2）=（1+k^2）（x1-a）（x2-a）
=（1+k^2）（x1x2-a（x1+x2）+a^2）
将直线代人圆的方程有：x^2+k^2（x-a）^2=25，整理得：（1+k^2）x^2-2ak^2x+a^2k^2-25=0
所以x1x2=a^2k^2-25/1+k^2，X1+x2=2ak^2/1+k^2，带回去算有：
-16=（1+k^2）（a^2k^2-25/1+k^2-2a^2k^2/1+k^2+a^2）
整理得-16=a^2k^2-25-2a^2k^2+a^2（1+k^2），即-16=-25+a^2，所以a=3或-3

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