知识大全已知实数a、 b 使方程x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0有一个实根，求此时a^2+b^2最小值

Posted 2022-07-27 实数

篇首语：书史足自悦，安用勤与劬。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了知识大全已知实数a、 b 使方程x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0有一个实根，求此时a^2+b^2最小值相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

已知实数a、 b 使方程x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0有一个实根，求此时a^2+b^2最小值

设x是实数解,记:
F=a^2+b^2+k(x^4+ax^3+2x^2+bx+1).
F\'a=2a+kx^3,
F\'b=2b+kx.
k=-2a/x^3=-2b/x,
a=bx^2代入:
b=-(x^4+2x^2+1)/(x^5+x) a^2+b^2=b^2(x^4+1)
=(x^2+1)^4/(x^2(x^4+1))为最小值

已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数），求a^2+b^2的最小值

x^2+ax+b+ax^(-1)+x^(-2)=0
(x+1/x)^2-2+a(x+1/x)+b=0
令(x+1/x)＝y，则
y^2+ay+b-2=0
而x+1/x>2或<-2
所以y>=2或y<=-2
令方程两根为y1、y2，并设y2>2或y2<-2，则
-a=y1+y2
b-2=y1y2
代入得：
a^2+b^2＝(y2^2+1)y1^2+6y2y1+(y2^2+4)
配方得
a^2+b^2>=y2^2+4-9y2^2/(y2^2+1)
=y2^2+1+9/(y2^2+1)-6
由于y2^2+1>=5
所以原式>=5＋9/5-6=4/5

设实数a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0 有实根，求a^2+b^2的最小值谢谢啦！

由已知a,b,x满足的关系式知 b= - (x+1/x)a-(x^2+1/x^2)，于是a^2+b^2=[(x+1/x)^2+1]a^2+2(x+1/x)(x^2+1/x^2)a+(x^2+1/x^2)^2，固定x，a^2+b^2的最小值为[(x^2+1/x^2)^2]/[x+1/x)^2+1]，令x^2+1/x^2=y (y>=2)，则此最小值为y^2/(y+3)，求导或由定义可知在y>=2上这是一个递增函数，所以y=2，x=+ -1，a= - +(4/5)，b= - 2/5 时，a^2+b^2取最小值4/5。

提问设实数a,b使方程x^4+ax^3+bx^3+ax+1=0 有实数解求a^2+b^2最小为多少

x^4+ax^3+bx^3+ax+1
=x^3(x+a+b)+a(x+1/a)
1/a=a+b时 x^4+ax^3+bx^3+ax+1=(x^3+a)(x+1/a)
x^4+ax^3+bx^3+ax+1=0
有实数解x=-1/a
1/a=a+b
1=a^2+ab
a^2+b^2≥2ab
在a=b时,a^2+b^2得到最小值2ab=a^2+ab=1

设实数a、b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0，求a2+b2的最小值

由方程x⁴+ax³+bx²+ax+1=0，可知x≠0，因此方程可化为x2+ax+b+

=0．
令t=x+

，则t²+at+b-2=0，|t|≥2．
设g（t）=t²+at+b-2，（|t|≥2）．
当-

＜-2时，即a＞4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-

＞2时，即a＜-4，只需△=a²-4b+8≥0，此时a²+b²≥16．
当-2≤-

≤2时，即-4≤a≤4，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0时，此时a2+b2≥

．
∴a²+b²的最小值为

．

已知A=a| x2-x+a=0无实根,B=a| 二次方程ax2+2x+1=0有实数根,求A∩B，A∪B

由A解得a>1/4，所以A=｛a| a>1/4，由B解得a<=1，所以B=｛a|a<=1，所以A∩B=（1/4，1]，A∪B=（-∞，+∞）

实数a,b使得关于x,y的方程组1)xy-x^2=1 xy^2+ax^2+bx+a=0有实数解,(x,y)。求a^2+b^2的最小值

由xy-x^2=1，得： x^2+1=xy，
由xy^2+ax^2+bx+a=0，得：
x(y^2+b)+a(x^2+1)=0，
x(y^2+b)+axy=0，
而易知x不等于0，
所以y^2+ay+b=0，
所以 y1+y2=-a，y1y2=b，
a^2+b^2=(y1+y2)^2+(y1y2)^2=y1^2+y^2+2y1y2+(y1y2)^2，
又因为|y|>=2，所以 |y1|>=2， |y2|>=2，
所以y1^2>=4， y2^2>=4， y1y2^2>=16，
所以a^+b^2>=32

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