知识大全函数的定义证明当x趋向于3时lim(x-3)/x^2-9=1/6

Posted 2022-07-27 函数

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函数的定义证明当x趋向于3时lim(x-3)/x^2-9=1/6

说明：此题是要求用极限的定义证明lim(x->3)[(x-3)/(x²-9)]=1/6。
证明：首先限定│x-3│<1，即2<x<4。对任意ε>0，解不等式
│(x-3)/(x²-9)-1/6│=│(x-3)/[6(x+3)]│<│x-3│/[6(2+3)]=│x-3│/30<ε
得│x-3│<30ε，取δ≤min30ε,1。
于是，对任意ε>0，总存在δ≤min30ε,1 (δ>0)。
当0<│x-3│<δ时，有│(x-3)/(x²-9)-1/6│<ε。即lim(x->3)[(x-3)/(x²-9)]=1/6。

lim（x趋向于1）（x-3）/（x^2-9）=

如果是x趋向于1，直接将x=1代入即可，得1/4;
如果是x趋向于3，则原式=lim<x→3>（x-3）/[（x+3）（x-3）]
=lim<x→3> 1/（x+3）
=1/6

f(x)=1/(x+2的(1/x-3)次方) 有x趋向于-3时 f（x）=? x趋向于3时 f（x）=？

若f(x)=1/(x+2^(1/(x-3)))
当x->-3时，f(-3)=1/(-3+2^(-1/6))
当x->3+时，2^(1/x-3)->+∞，此时f(3+)=0
当x->3-时，2^(1/x-3)->1,此时f(3-)=1/4
所以x=3是f(x)的间断点

lim(1/x^2)(sinx)=0 当x趋向于无穷。如何用定义证明。

lim(x→∞) sinx / x^2=0
考虑
|sinx/x^2-0|
≤|1/x^2|
先限定x的范围：|x|>1，于是有|x|<|x^2|
<1/|x|
对任意ε>0，取X=max1/ε，1，当|x|>X，就有|sinx/x^2-0|<ε
根据定义，
lim(x→∞) sinx / x^2=0
有不懂欢迎追问

用定义证明当x趋向1,lim(3x+2)=5

解：当x→1时，对于任意ε/3，有|x-1|<ε/3，
而 |(3x+2)-5|=|3(x-1)|=3*|x-1|<3*(ε/3)=ε
因为ε任意，|(3x+2)-5|<ε等价于 lim(x→1)(3x+2)=5；
所以，得证。

按定义证明当x趋向于正无穷时,lim1/2^x=0

用定义证明lim(xy)/(√x2+y2)xy趋向于0

原式= lim 1/(√(1/x2 + 1/y2) )
任意取ε>0，则总存在X,Y，当x>X，y>Y时，总有1/(√(1/x2 + 1/y2) )<ε
因此极限是0

设函数lim 当x趋向于a时 f(x)-f(a)/(x-a)⑵=1/3,则f(x)在x=a处

选D,根据函数极限的保号性原理，得出f(x)-f(a)大于零，则答案为极小值。

求lim(x趋向于3时)sin（x-3）/(x的平方减9)

1/6 x^2-9=(x+3)(x-3)
设x-3=y x趋于3时 y趋于0 重要极限公式lim(x趋向于3时)sin（x-3）/（x-3）=1 得解不知道说的够不够清楚我毕业也十来年了

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