知识大全设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1），其中a≥－1，求f（x）的单调区间

Posted 2022-07-27 函数

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设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1），其中a≥－1，求f（x）的单调区间

解：由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=(ax-1)/(x+1) (a≥-1)，
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=1/a ．
当x∈(-1，1/a)时，f′（x）＜0，函数f（x）在(-1，1/a)上单调递减．
当x∈(1/a，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(1/a，+∞)上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在(-1，1/a)上单调递减，函数f（x）在(1/a，+∞)上单调递增．

望采纳，若不懂，请追问。

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的单调区间

由已知得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且 f ′ (x)=

ax-1

x+1

(a≥-1) ，
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得 x=

．f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表

(-1，

)

(

，+∞)

f′（x）

f（x）

极小值

从上表可知
当 x∈(-1，

) 时，f′（x）＜0，函数f（x）在 (-1，

) 上单调递减．
当 x∈(

，+∞) 时，f′（x）＞0，函数f（x）在 (

，+∞) 上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在 (-1，

) 上单调递减，函数f（x）在 (

，+∞) 上单调递增．

设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a>-1，求f(x)的单调区间

因为a>-1，所以(a+1)>0,又ln(x+1）是增函数，所以(a+1)ln(x+1)也是增函数
那么－(a+1)ln(x+1)是减函数，
根据复合函数判断单调性的口诀“同增异减”
那么
若（1）a>0 则ax为是增函数，那么f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)为减函数
（2）-1<a<0 则ax为是减函数，那么f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)为增函数

设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1），其中a＞等于－1，求f（x）的单调区间

解:
f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
定义域
x∈(-1,正无穷)
f\'(x)=a-(a+1)/(x+1)
令f\'(x)>0
a>(a+1)/(x+1)
(1-ax)/(x+1)<0
①所以当-1<a<0
所以x∈(-1/a,-1)不符合定义域
f\'(x)<0
x∈(-1,正无穷)时f(x)递减
②a=0时
f(x)=-ln(x+1)
f\'(x)=-1/(x+1)
令f\'(x)>0
x<-1 不符合定义域
f\'(x)<0
x>-1
所以f(x)递减
③a>0时
f\'(x)=a-(a+1)/(x+1)
令f\'(x)>0
(ax-1)/(x+1)>0
x∈(负无穷,-1)∪(1/a,正无穷)
所以(1/a,正无穷)是f(x)增区间
(-1,1/a)是f(x)减区间

设f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>=-1，求f(x)的单调区间

定义域：x>-1
f\'(x)=a-(a+1)/(x+1)
当a=0时，f\'<0， f单调递减；
当-1=<a<0时 f’< 0 解得：x>1/a恒成立( 1/a<=-1 ，x>-1),故f恒单调递减；
当0<a时， f’< 0 解得：x<1/a ,故f在（-1，1/a)上单调递减，在（1/a,正无穷）上单调递增。

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a大于等于-1.求f（x）的单调区间

对函数求导
f\'（x）=a+(a+1)/(x+1)=(ax+2a+1)/(x+1)
因为a≥-1
所以x=(-2a-1)/a<-1
所以函数的单调增区间是：x<(-2a-1)/a或x＞-1
而函数的单调减区间是：(-2a-1)/a<x<-1
希望能帮到你，请采纳，谢谢

设函数f(x)=ax-(a+1)lnx,其中a≥ -1 ,求f(x)的单调区间。

首先x>0
f\'(x)=a-(a+1)/x
令f\'(x)=0得x=(a+1)/a 由x>0 a>=-1知
a>0时能取到x=(a+1)/a满足f\'(x)=0
当0<x<(a+1)/a时，恒有f\'(x)<0，故在此区间函数递减
当x>(a+1)/a时，恒有f\'(x)>0，故在此区间函数递增
-1<=a<0时 (a+1)/a<0 无x满足f\'(x)=0，此时对任意的x，恒有f\'(x)<0函数在定义域x>0上单调递减。 [因为a<0 a+1>0 x>0,则f\'(x)=a-(a+1)/x<0]

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a大于等于1，求f(x)的单调区间？拜托了，谢谢！

f\'(x) = a - (a+1) / (x+1)
令f\'(x)=0，可得 x = 1/a
显然，在（-1, 1/a）区间，f\'(x) < 0，函数单调递减
在（1/a, 无穷大）区间，f\'(x) > 0，函数单调递增

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0

f(x)\'=a-(a+1)/(x+1)=0时，即x=1/a时可取极值，且可知该极值处可取最小值。则由f(1/a)-(-1/a)=1-(a+1)ln(1/a+1)+1/a=(a+1)/a-(a+1)ln[(a+1)/a]>0易证，得证结论成立。

已知函数f(x)=x-(a+1)ln(x+1)，其中a>-1，求f(x)的单调区间。

定义域为x>=-1
f\'(x)=1-(a+1)/(x+1)=(x-a)/(x+1)
因为a>-1, 所以
在x>a上，有f\'(x)>0,单调增。
在-1<x<a上，f\'(x)<0, 单调减。

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