知识大全在数列an中, a1=1,an+1=2an+2^n,求数列an的通项an

Posted 2022-07-26 数列

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在数列an中, a1=1,an+1=2an+2^n,求数列an的通项an

a(n+1)=2an+2^n
两边同除2^(n+1)得：a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2，a1/2=1/2。
所以，数列an/2^n是首项为1/2、公差为1/2的等差数列。
an/2^n=1/2+(1/2)(n-1)=(1/2)n。
数列an的通项公式是an=n*2^(n-1)，n为正整数。

在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1），求数列an的通项an

解：此题用“构造法”将原数列an的递推公式a(n+1)=2an+3构造一下，
使两边有“相似”部分，令a(n+1)+x=2(an+x)，化简得a(n+1)=2an+x，
即x=3，则a(n+1)+3=2(an+3)，即可得到如下数列：
a2+3=2(a1+3)
a3+3=2(a2+3)
a4+3=2(a3+3)
···
a(n+1)+3=2(an+3)
由a1=1，可知a1+3=4，则数列an+3是一个以4为首项，2为公比的等比数列，
即an+3=4×2^(n-1)，化简得an=2^(n+1)-3

）在数列an 中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n, （1）求证：数列an/2^n是等差数列，（2）求数列an的通项公式

（1）由a(n+1)=2an+2^n,两边除以2^(n+1)，a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
a(n+1)/2^（n+1）=an/2^n+1/2,令Bn=an/2^n,则B(n+1)-B(n)=a(n+1)/2^（n+1）-an/2^n=1/2
所以数列an/2^n是等差数列
（2）、由（1）可得an/2^n=1/2+(n-1)/2=(1/2)n所以an=(1/2)n2^n=n2^(n-1)
所以an=n2^(n-1)+
（3）由Sn=1+a2+a3+a4+a、、、+an=1+(2a1+2^1)+(2a2+2^2)+(2a3+2^3)+、、、+(2a(n-1)+2^(n-1))=1+2^1+2^2+2^3+、、、+2^(n-1)+2a2+2a3+2a4+、、、+2a(n-1)=1+2^1+2^2+2^3+、、、+2^(n-1)+2(S(n-1)-1),算出Sn=2^(n-2)-2+2Sn-1

在数列an中,a1=2,an+1=ban+b^(n+1) +(2-b)×2^n 求数列an的通项公式

两边同时除以b^(n+1)，得
a(n+1)/b^(n+1)=an/b^n+1+2^(n+1)/b^(n+1)-2^n/b^n=an/b^n+(2/b)^(n+1)-(2/b)^n+1，
设Cn=an/b^n，则C(n+1)=a(n+1)/b^(n+1)，所以
C(n+1)-Cn=(2/b)^(n+1)-(2/b)^n+1，
累加法求出Cn，即可求出an。
你计算时注意一下b=1,b=2时的情况（我没算过）。
最后用错位相减法即可得Sn。

在数列an中，a1=2，且an+1=3an+2，求数列an的通项公式

∵数列a_n中，a₁=2，且a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=3，a₁+1=2+1=3，
∴a_n+1是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．

在数列an中，a1=2, an+1=λan + λn+1 + (2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0 求数列an的通项公式

构造等比数列
由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,
可得an+1-2（n+1）-(n+1)λ（n+1）=λ(an-2n-nλn),所以an-2n-nλn是首项为-λ，公比为λ的等比数列，故an-2n-nλn=-λn,
所以数列an的通项公式为an=2n+(n-1)λn

在数列an中,设a1=1,且an+1=3an+2n-1(n=1,2.),求数列an的通项公式an

解：由an+1=3an+2n-1,得 2an=2-2n,
从而 an=1-n
公差 d=a（n+1）-an=1-（n+1）-（1-n)=-1
∴数列an的通项公式an=a1+(n-1)*d
=1+(n-1)*(-1)
=1+1-n
=2-n
则数列an的通项公式an=2-n

在数列an中，a1=2，an=2*a（n-1）+2^（n+1),求数列an的通项公式

an=2*a（n-1）+2^（n+1)
an-2a(n-1)=2^(n+1)
a1=2
a2=2a1+2^3
a3=2a2+2^4
a4=2a3+2^5
.....
an-1=2a(n-2)+2^n
an=2a(n-1)+2^(n+1)
a(n-1)*2=2*2a(n-2)+2*2^n
a(n-2)*2^2=2*2^2a(n-2)+2^2*2^(n-1)
.....
a3*2^(n-3)=2^(n-3)*2a2+2^(n-3)*2^4
a2*2^(n-2)=2^(n-2)*a1+2^(n-2)*2^3
相加后得：
an=2^(n-2)a1+(n-1)*2^(n+1)
=2^(n-1)*2+(n-1)*2^(n+1)
=2^n+(n-1)*2^(n+1)

求数列an的通项公式在数列an中 an+1=3an^2 a1=3

an+1=3an^2=3(3(an-1)^2)^2=27(an-1)^4
观察可知常数是3*3^2*3^4*...*3^[2^(n-1)]=3^(1+2+4+...+2^(n-2))=3^[2^(n-1)-1]
后面一部分为a1^[2^(n-1)]
所以整体应该是3^[2^(n-1)-1+2^(n-1)]=3^(2^n-1)
验证, a1满足，假设an-1=3^[2^(n-1)-1]
an=3an-1^2=3*3^2[2^(n-1)-1]=3^(2^n-1)满足

在数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3(n大于等于1)，求数列｛an｝的通项an。

用“构造法”将an的递推公式a(n+1)=2an+3改变为两边有“相似”的部分，
令a(n+1)+x=2(an+x)，则a(n+1)=2an+x，即x=3，
∴a(n+1)+3=2(an+3)，
则数列an+3是公比q=2的等比数列
∵a1=1
∴a1+3=4
∴数列an+3的首项为4
∴an+3=4×2^(n-1)
an=2^(n+1)-3

知识大全 在数列an中, a1=1,an+1=2an+2^n,求数列an的通项an