知识大全求y＝ln（1＋x²）凹向与拐点

Posted 2022-07-26 拐点

篇首语：著论准过秦，作赋拟子虚。本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了知识大全求y＝ln（1＋x²）凹向与拐点相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

求y＝ln（1＋x²）凹向与拐点

y\'=2x/(1+x²)
y\'\'=[2(1+x²)-4x²]/(1+x²)²
=[2(1-x²)]/(1+x²)²
=-2（x+1）（x-1）/(1+x²)²
=0
x1=-1,x2=1
x<-1, y\'\'<0
即（-∞，-1]是凸区间；
-1<x<1
y\'\'>0
即[-1,1]是凹区间；
x>1
y\'\'<0
[1,+∞）是凸区间；
拐点为（-1,ln2）和（1，ln2）.

求y＝ln(1＋x²)凹凸性及拐点

y \' = 2x/(1+x^2)，
y \'\' = [2(1+x^2)-2x*2x] / (1+x^2)^2 = 2(1-x^2) / (1+x^2)^2，
令 y \'\' > 0 得 -1<x<1，因此得凹区间（-1，1），
令 y \'\' < 0 得 x<-1 或 x>1，因此得凸区间（-∞，-1）和（1，+∞），
拐点（-1，ln2）和（1，ln2）。

求y=ln(x²-1)的拐点

定义域x＞1或者x＜-1
y\'=2x/(x²-1)=(1/x-1)+(1/x+1)
y\'\'=[-1/(x-1)²]+[1/(x+1)²]＜0
无拐点

求曲线的凹向与拐点

1、
y=x²-x³
y\'=2x-3x²
y\'\'=2-6x=0
x=1/3
x<1/3,y\'\'>0
x>1/3,y\'\'<0
x=1/3，y=2/27
所以拐点(1/3,2/27)
x<1/3时是凹函数
2、
y=3x^5-5x³
y\'=15x^4-15x²
y\'\'=60x³-30x=0
x(2x²-1)=0
x=0,x=±√2/2
x<-√2/2,y\'\'<0
-√2/2<x<0,y\'\'>0
0<x<√2/2,y\'\'<0
x>√2/2,y\'\'>0
x=0,y=0
x=-√2/2,y=7√2/8
x=√2/2,y=-7√2/8
所以拐点有三个
(-√2/2,7√2/8),(0,0),(√2/2,-7√2/8)
-√2/2<x<0,x>√2/2时是凹函数

确定曲线的凹向与拐点:y=e的负x次方

V型，无拐点

解：
y=e^(-x)
y\'=-e^(-x)
y\'\'=e^(-x)＞0
凹向：V型
拐点：无拐点
PS：
值得注意的是，高中教材上关于凸凹性条件的定义，很容易让人混淆和误解，且跟国外教材不一致。

求曲线y=1/(1+x^2)的凹向及拐点

求导就是，先求一介导数，再求二阶导数，令二阶导数为0，可得拐点
再分析二阶导数飞正负，判断凹向

求曲线y=x^4-2x³+1的凹向区间与拐点

解：∵y=x^4-2x³+1
∴y\'\'=12x²-12x=12x(x-1)
令y\'\'=0,即12x(x-1)=0
解此方程得 x=0或x=1
∵当x<0时，y\'\'>0
当0<x<1时，y\'\'<0
当x>0时，y\'\'>0
∴曲线y=x^4-2x³+1的拐点是x=0与x=1
曲线的凹区间是(-∞,0)(1,+∞)
曲线的凸区间是(0，1)。

求该曲线的凹凸区间和拐点 y=x^2 ln x

y\'=2x㏑x+x²/x=2x㏑x+x
y"=2㏑x+2x/x+1=2㏑x+3
y">0时为凹区间，此时x>e^(-3/2)
y"<0时为凸区间，此时0<x<e^(-3/2)
y"=0时为拐点，此时x=e^(-3/2)

求y=x+1/x²+1的全部拐点

y=x+1/x²+1
y\'=1-2x/x^4
=1-2/x^3
=(x^3-2)/x^3
令y\'=0 x^3-2=0
x=2^(1/3)
y\'\'=6x^2/x^6
=6/x^4>0
函数只有一极值点，x=2^(1/3)

y=x∧3-6x∧2 9x 1求单调区间,极值凹向,拐点

y=x³-6x²+9x+1

y′ = 3x²-12x+9 = 3(x-1)(x-3)
单调增区间：（-无穷大，1），（3，+无穷大）
单调减区间：（1，3）

y′′ = 6x-12 = 6(x-2)
凸区间：（-无穷大，2）
凹区间：（2，+无穷大）
x=2时，y=2³-6*2²+9*2+1 = 3
拐点：（2，3）

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