知识大全已知f(x)=x^2-4x +3,x≤0/-x^2-2x +3,x>0,不等式f(x +a)

Posted 2022-07-26 不等式

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已知f(x)=x^2-4x +3,x≤0/-x^2-2x +3,x>0,不等式f(x +a)

由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．
解答：解：①当x≤0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）2-1=-（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；

已知f(x)=2-x,x≤0,x^2-6x+2,x>0,则关于x的不等式f(3-x^2)<f(2

f(2)=2^2-12+2=-6
x≤0时，2-x≥2不符
x>0时，x^2-6x+2<-6，x^2-6x+8<0，2<x<4
所以2<3-x^2<4
-4<x^2-3<-2
-1<x^2<1
-1<x<1.
解集为(-1,1)

已知函数f(x)x2+2x,x≥0 -x2+2x,x<0 ,解不等式f(x)>3

x≥0;x²+2x=(x+1)²-1≥-1;
x＜0;-x²+2x=-(x-1)²+1≤1;
所以f(x)＞3即x²+2x＞3;
(x+3)(x-1)＞0;
∴x＞1或x＜-3;
又∵x≥0
∴x＞1
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祝学习进步

已知函数f(x)=x2+2x,x≥0 -x2+2x,x<0,解不等式f(x)>3

f(x)=x²+2x,x≥0
-x²+2x,x<0
解不等式f(x)>3
x²+2x>3且x≥0,解得x>1
-x²+2x>3且x<0,解得-1<x<0
即当x≥0时,解集为x>1
当x<0时,解集为-1<x<0

若f(x)=4x/x^2+1,x∈(-1,1),解不等式f(4-3x)+f(x-3/2)>0

解：
f(-x)=4(-x)/[(-x)²+1]=-4x/(x²+1)=-f(x)
又定义域(-1，1)关于原点对称，函数f(x)是奇函数。
f\'(x)=[4(x²+1)-4x(2x)]/(x²+1)²=4(1-x²)/(x²+1)²
x∈(-1，1)， 0≤x²<1 0<1-x²≤1
4(1-x²)/(x²+1)²>0
f\'(x)>0，函数在区间(-1，1)上单调递增。

4-3x，x- 3/2都在区间(-1，1)上，则
-1<4-3x<1 3<3x<5 1<x<5/3
-1<x- 3/2<1 1/2<x<5/2
综上，得1<x<5/3

f(4-3x)+f(x-3/2)>0
f(x-3/2)-f(3x-4)>0
f(x-3/2)>f(3x-4)
x-3/2>3x-4
2x<5/2
x<5/4

综上，得1<x<5/4。

已知fx=3^X一3^-X，则不等式f（2X-1）十f（X十4）>0的解集

先给好评

已知函数f(x)=3^x,0≤x≤1;x^2-4x+4,x>1，则不等式1<f(x)<4的解集为

解：当0≤x≤1时，1<3^x<3 所以0≤x≤1满足题意
当x>1时,1<x^2-4x+4<4, 1<(x-2)^2<4, 得x>3或x<-1且0<x<4, 得3<x<4
综上0≤x≤1或 3<x<4

已知f(x)=x^2-2x+3解不等式f(x^2-2x-4)<f(2x^2+7)

设u=x^2-2x-4，v=2x^2+7
函数f(x)=x^2-2x+3是开口朝上的抛物线，对称轴是x0=1
且离对称轴近的点，函数值越小。离对称轴越远，函数值越大。
所以|u-1|<|v-1|
带入u，v得到
|x^2-2x-5|<|2x^2+6|
也可以写作|x^2-2x-5|<2x^2+6
所以-2x^2-6<x^2-2x-5<2x^2+6
解得x∈R

解不等式x^2-4x+4<0和-x^2-2x+3>0

x^2-4x+4<0
(x-2)^2<0
无解
-x^2-2x+3>0
x^2+2x+1<4
x+1<±2
-2<x+1<2
-3<x<1

已知函数f（x）=x＋4|x解不等式f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0

因为f（-x）=-x＋4/(-x)=-(x+4/x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，且f(x)在【1，+无穷）递增
由f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0得f（2x²+5x+8）<-f（x-3-x²）
因为f(x)是奇函数,所以-f（x-3-x²）=f(x²-x+3)，那么上式可变为
f（2x²+5x+8）<f(x²-x+3)，因为2x²+5x+8=2（x+5/4)^2+39/8>1,x²-x+3=(x-1/2)^2+11/4>1
所以,由上式得2x²+5x+8<x²-x+3,解得-5<x<-1

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