知识大全已知a、b满足a+b=1，a²+b²=2，求a³+b³，a的4次方+b的4次方的值

Posted 2022-07-25 公式

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已知a、b满足a+b=1，a²+b²=2，求a³+b³，a的4次方+b的4次方的值

a+b=1，a²+b²=2
(a+b)^2=1
a^2+b^2+2ab=1
ab=-1/2
a³+b³
=(a+b)(a^2+b^2-ab)
=(a+b)[(a+b)^2-3ab)
=-1/2
a的4次方+b的4次方
=(a^2+b^2)-2a^2b^2
=1-1/2
=1/2

已知a+b=4,a³+b³=28,求a²+b²的值

a+b=4
(a+b)^2=4^2=16=a^2+b^2+2ab
ab=8-1/2(a^2+b^2)
a³+b³
=(a+b)(a^2+b^2-ab)
=4(a^2+b^2-8+1/2(a^2+b^2))
=28
a^2+b^2=10

已知a+b=1,a²+b²=2.求a³+b³,a的四次方+b的四次方,a的五次方+b的五次

根据已知求得ab=-1/2
a³+b³=（a+b）³-3a²b-3ab²=（a+b）³-3ab（a+b）=1+3/2=5/2
a^4+b^4=(a+b)^4-6a²b²-4a³b-4ab³=1-6*(-1/2)²-4ab(a²+b²)=1-3/2-4*(-1/2)*2=1--3/2+4=7/2

已知a的4次方+3a²=b²-3b=1,且a²b≠1,则(a的6次方b³+1)/b³的值是

解：∵a的4次方+3a²=b²-3b=1
∴a²、-b是方程x²+3x-1=0的根
∵a²b≠1
∴a²*(-b)≠-1
∴a²=-b
∵b²-3b-1=0
∴b-1/b=3
∴b²+1/b²=11
∴原式=a^6+1/b³=-b³+1/b³=(1/b-b)(1/b²+1+b²)=-3*(11+1)=-36

已知ab=﹣2，a＋b=3求a的4次方b²＋a²b的4次方的值

a的4次方b²＋a²b的4次方=a²b²（a²+b²）=(ab)²（（a+b）²-2ab)
=(-2)²（（3）²-2（-2）)=52

已知a+b=4，a²+b²=10.求（1）（a-b）² （2） a³+b³

总结：
a+b、a-b、a²+b²、ab
已知任意两个，其他的任意组合
平方和与差公式(a+b)²或(a-b)²
平方差公式a²-b²
立方和与差公式a³+b³或a³-b³
都迎刃而解。
分析： (a-b)²=a²+b²-2ab...............(1)
(a+b)²=a²+b²+2ab..............(2)
不妨设
a+b=A；a-b=B；a²+b²=C；ab=D
那么(1),(2)转化为
B^2=C-2D
A^2=C+2D
A,B,C,D若已知任意两个，其他两个只是解二元方程组而已。

已知a³+a²b+ab²+b³=20，a²+b²=10，求a+b的值

解：已知a的3次方+a的2次方b+ab的2次方+b的3次方=20
（a的3次方+a的2次方b）+（ab的2次方+b的3次方）=20
a的2次方×（a+b）+b的2次方×（a+b）=20
（a+b）×（a的2次方+b的2次方）=20
且a的2次方+b的2次方=10
得（a+b）×10=20
a+b=20÷10
a+b=2

已知a+b=x,a³+b³=x²,求a²+b²的值

解由x^2=a^3+b^3=(a+b）（a^2-ab+b^2)=x（a^2+b^2-ab）
即a^2+b^2-ab=x........................................①
又由a+b=x
平方得a^2+b^2+2ab=x^2..................②
由（1）×2+（2）得
3（a^2+b^2)=2x+x^2
即a^2+b^2=（2x+x^2）/3
即a^2+b^2=（x^2+2x）/3

已知a+b=1,a²+b²=2,求a的七次方+b的七次方的值

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2 ab=-1/2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=1*(2+1/2)=5/2
a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=2^2-1/2=7/2
a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-a^3b^4-a^4b^3=35/4-(-1/2)^3*1=69/8

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