知识大全已知n是正整数,代数式(2n+1)^2-1能被8整除吗?

Posted 2022-07-24 知

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证明:原式=4n^2+4n+1-1(完全平方公式，展开)
=4n^2+4n（合并同类项）
=4n(n+1) （提取公因式）
因为4是可以被4整除的，而n（n+1）必然是偶数（n与n+1一定一奇数一偶数），能被2整除，所以（2n+1)^2-1一定能被8整除。

算式没错？那么上式=2n-48,显然一定能被2整除；
若有括号:(2n+1)^2-49=4n^2+4n-48 显然一定能被4整除.

(2n+1)??-1??
=(2n+1+1)(2n+1-1)
=2n(2n+2)
=4n(n+1)
n和n+1是连续两个整数，所以是一奇一偶
所以相乘是偶数，即是2的倍数
所以4n(n+1)是2×4=8的倍数
所以(2n+1)??-1能被8整除

n(n+1)-2n(2n-1)=n²-4n²+n+2n
=-3n²+3n
=3(-n²+n)
∵n为整数所以-n²+n为整数
3(-n²+n)能被3整除

n平方+n
=n（n+1）
又因为n是正整数
n为偶数时，n+1为奇数，乘积为偶数
n为奇数时，n+1为偶数，乘积为偶数
n平方+n能被2整除

原式=(2a+1+1)(2a+1-1)=2a(2a+2)
=4a(a+1)
a和a+1是相邻的整数
所以是一奇一偶
所以相乘是偶数
所以能被2整除
所以4a(a+1)能被4×2=8整除

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