知识大全已知二阶线性齐次微分方程的三个特解为y1＝1、y2＝x、y3＝x³，试求其通解紧急求助啊

Posted 2022-04-11 线性

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已知二阶线性齐次微分方程的三个特解为y1＝1、y2＝x、y3＝x³，试求其通解紧急求助啊！

通解可能为
y=Cy1+C0y2+C1y3=C+C0x+C1x^3

已知y1=e^(3x)-xe^(2x)，y2=e^x-xe^(2x)，y3=-xe^(2x) 是某二阶线性微分方程的三个解，求其通解.

解：∵y1=e^(3x)-xe^(2x),y2=e^x-xe^(2x),y3=-xe^(2x)是某二阶线性微分
方程的三个线性无关解
∴y1-y3=e^(3x),y2-y3=e^x是此微分方程对应齐次方程的二个线性无关解
则对应齐次方程的通解是 y=C1e^x+C2e^(3x) (C1,C2是任意常数)
∵y3=-xe^(2x)是此二阶线性微分的一个特解
∴二阶线性微分的通解是y=C1e^x+C2e^(3x)-xe^(2x)。

已知y1=xe^x+e^(2x),y2=xe^x+e^(-x),y3=x*e^x+e^(2x)-e^(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的三个解求方程

通解必须包含待定积分常数，且积分常数的个数跟方程阶数一样多。因此你所给的形式都是特解。

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为y1=sin2x ,y2=cos2x,求相应的微分方程

y二阶导+4y＝0

具有特解y=y1=e^(-x),y2=xe^(-x),y3=e^x的三阶常系数齐次微分方程为

根据特解的形式可知，-1是特征方程的二重根，1是特征方程的根，所以特征方程是(r+1)^2(r-1)=0，即r^3+r^2-r-1=0，所以特征方程是y\'\'\'+y\'\'-y\'-y=0。

某二阶线性齐次微分方程的两个解为y=x与y=x^2，则通解为多少

根据线性齐次微分方程解的结构理论，通解为 y = C1x + C2x^2。
此外满足解为 y = x， y = x^2 的一个线性微分方程是 y\'\' - (2/x)y\' + (2/x^2)y = 0，
y = C1x + C2x^2 代入满足，并含 2 个独立积分常数，故为通解。

求以y1=e^x,y2=xe^x,y3=3sinx,y4=2cosx为特解的四阶常系数齐次线性微分方程

注意到这四个解线性无关，因此四阶常系数齐次线性微分方程的通解为
Y=C1y1+C2y2+C3y3+C4y4
=C1e^x+C2xe^x+C3sinx+C4cosx

已知二阶线性齐次微分方程y″+P（x）y′-ycos2x=0有两个互为倒数的特解．（1）求P（x）；（2）求原方程的

（1）∵二阶线性齐次微分方程的两个特解互为倒数
∴这两个特解不为零且同号
而根据齐次方程解的齐次性，可以认为这两个特解都是正的，从而假设这两个解为
y1＝eα(x)，y2＝e?α(x)
将y₁，y₂代入y″+P（x）y′-ycos²x=0，得
α″+（α′）²+Pα′-cos²x=0 …①
-α″+（α′）²-Pα′-cos²x=0…②
∴①+②得：
（α′）²=cos²x，即α′=±cosx，即α=±sinx
①-②得：
α″+Pα′=0，将α=±sinx代入，解得：
P（x）=tanx
（2）由（1）求出的α=±sinx
∴y″+P（x）y′-ycos²x=0的两个特解为：
y1＝esinx，y2＝e?sinx这是两个线性无关的解
因此y″+P（x）y′-ycos²x=0的通解为：
y＝c1esinx+c2e?sinx，其中c₁、c₂为任意常数．

已知y1=xe^x+e^2x,y2=xe^x+e^-x,y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程

代入任意一个皆可，结果必须是一样的。如果f(x)不一样，肯定是算错了。
（实际上，这三个解的公共部分xe^x是非齐次线性方程的解，由此可求得f(x)）

求一个四阶常系数齐次线性微分方程，使之有四个特解：y1=e^x,y2=xe^x,y3=cos2x,y4=2sin2x，并求通解

所以可以看出线性无关的四组解为e^x,xe^x,cos2x,sin2x所以特征根为1,1,2i,-2i所以特征根方程为(r-1)^2(r-2i)(r+2i)=0(r^2-2r+1)(r^2+4)=0r^4-2r^3+5r^2-8r+4=0即原方程为y\'\'\'\'-2y\'\'\'+5y\'\'-8y\'+4y=0通解为y=C1e^x+C2x...

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