知识大全 次小生成树 Tree-LCA的位运算

Posted 2022-07-19 知

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　　关于次小生成树 Tree LCA的位运算我们有实例!

　　小 C 最近学了很多最小生成树的算法 Prim 算法 Kurskal 算法 消圈算法 等等 正当小 C 洋洋得意之时 小 P 又来泼小 C 冷水了 小 P 说 让小 C 求出一 个无向图的次小生成树 而且这个次小生成树还得是严格次小的 也就是说 如果最小生成树选择的边集是 EM 严格次小生成树选择的边集是 ES 那么 需要满足 (value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了 他找到了你 希望你帮他解决这个问题

　　Input

　　第一行包含两个整数N 和M 表示无向图的点数与边数 接下来 M行 每行 个数x y z 表示 点 x 和点y之间有一条边 边的权值 为z

　　Output

　　包含一行 仅一个数 表示严格次小生成树的边权和 (数 据保证必定存在严格次小生成树)

　　Sample Input

　　Sample Output

　　HINT

　　数据中无向图无自环;

　　 % 的数据N≤ M≤ ;

　　 % 的数据N≤ M≤ ;

　　 % 的数据N≤ M≤ 边权值非负且不超过 ^

　　Source

　　这题的关键就在于求Lca 记录路径上的最小与严格次小值

　　用f[i][j]表示i的第 ^j个儿子( 表示 不存在)

　　那么f[i][j]=f[ f[i][ j ] ][j ]

　　dp[i][j]和dp [i][j]表示点i到f[i][j]的最小和严格次小值(不存在= ) 那么只需特判即可

　　[cpp]

　　int lca(int x int y int &nowdp int &nowdp )

　　if (deep[x]<deep[y]) swap(x y);

　　int t=deep[x] deep[y]; //差的数量

　　for (int i= ;t;i++)

　　if (t&bin[i]) //转化为位运算 bin[i]表示 <<i 把t看成 进制

　　x=f[x][i];

　　t =bin[i];

　　int i=Li ; //Li 表示 最高存到 ^(Li )个父亲

　　while (x^y) //x和y不相等时

　　while (f[x][i]==f[y][i]&&i) i ; //当i== 时只能向上跳

　　x=f[x][i];y=f[y][i];

　　程序

　　[cpp]

　　#include<cstdio>

　　#include<cstdlib>

　　#include<cstring>

　　#include<iostream>

　　#include<algorithm>

　　#include<functional>

　　using namespace std;

　　#define MAXN ( + )

　　#define MAXM ( + )

　　#define Li ( )

　　#define INF ( )

　　int edge[MAXM] pre[MAXM] weight[MAXM] next[MAXM] size= ;

　　int addedge(int u int v int w)

　　edge[++size]=v;

　　weight[size]=w;

　　next[size]=pre[u];

　　pre[u]=size;

　　int addedge (int u int v int w)

　　addedge(u v w);

　　addedge(v u w);

　　int f[MAXN][Li]= dp[MAXN][Li]= dp [MAXN][Li]= deep[MAXN] n m;

　　struct E

　　int u v w;

　　friend bool operator<(E a E b)return a w<b w;

　　e[MAXM];

　　bool b[MAXM] vis[MAXN];

　　int queue[MAXN] head tail;

　　void bfs()

　　memset(vis sizeof(vis));

　　head=tail= ;queue[ ]= ;vis[ ]= ;deep[ ]= ;

　　while (head<=tail)

　　int &u=queue[head];

　　if (u!= )

　　for (int i= ;i< ;i++)

　　if (f[u][i ])

　　f[u][i]=f[f[u][i ]][i ];

　　if (f[u][i]== ) break;

　　if (f[u][i])

　　dp[u][i]=max(dp[u][i ] dp[f[u][i ]][i ]);

　　if (i== )

　　if (dp[u][ ]!=dp[f[u][ ]][ ]) dp [u][ ]=min(dp[u][ ] dp[f[u][ ]][ ]);

　　else dp [u][ ]= ;

　　else

　　dp [u][i]=max(dp [u][i ] dp [f[u][i ]][i ]);

　　if (dp[u][i ]!=dp[f[u][i ]][i ]) dp [u][i]=max(dp [u][i] min(dp[u][i ] dp[f[u][i ]][i ]));

　　for (int p=pre[u];p;p=next[p])

　　int &v=edge[p];

　　if (!vis[v])

　　queue[++tail]=v;

　　vis[v]= ;deep[v]=deep[u]+ ;

　　f[v][ ]=u;dp[v][ ]=weight[p];dp [v][ ]= ;

　　head++;

　　int bin[Li];

　　void check(int &nowdp int &nowdp int c)

　　if (c<=nowdp ) return;

　　else if (nowdp <c&&c<nowdp) nowdp =c;

　　else if (c==nowdp) return;

　　else if (nowdp<c) nowdp =nowdp;nowdp=c;

　　int lca(int x int y int &nowdp int &nowdp )

　　nowdp=nowdp = ;

　　if (deep[x]<deep[y]) swap(x y);

　　int t=deep[x] deep[y];

　　for (int i= ;t;i++)

　　if (t&bin[i])

　　check(nowdp nowdp dp[x][i]);

　　check(nowdp nowdp dp [x][i]);

　　x=f[x][i];

　　t =bin[i];

　　int i=Li ;

　　while (x^y)

　　while (f[x][i]==f[y][i]&&i) i ;

　　check(nowdp nowdp dp[x][i]);

　　check(nowdp nowdp dp [x][i]);

　　check(nowdp nowdp dp[y][i]);

　　check(nowdp nowdp dp [y][i]);

　　x=f[x][i];y=f[y][i];

　　int father[MAXN];

　　long long sum_edge= ;

　　int getfather(int x)

　　if (father[x]==x) return x;

　　father[x]=getfather(father[x]);

　　return father[x];

　　void union (int x int y)

　　father[father[x]]=father[father[y]];

　　int main()

　　scanf( %d%d &n &m);

　　for (int i= ;i<=n;i++) father[i]=i;

　　memset(b sizeof(b));

　　memset(next sizeof(next));

　　for (int i= ;i<Li;i++) bin[i]= <<i;

　　for (int i= ;i<=m;i++)

　　scanf( %d%d%d &e[i] u &e[i] v &e[i] w);

　　sort(e+ e+ +m);

　　for (int i= ;i<=m;i++)

　　if (getfather(e[i] u)!=getfather(e[i] v)) union (e[i] u e[i] v);addedge (e[i] u e[i] v e[i] w);sum_edge+=e[i] w;

　　else b[i]= ;

　　bfs();

　　long long mindec= ;

　　for (int i= ;i<=m;i++)

　　if (b[i])

　　int nowdp nowdp ;

　　lca(e[i] u e[i] v nowdp nowdp );

　　if (nowdp==e[i] w) nowdp=nowdp ;

　　if (nowdp== ) continue;

　　if (mindec== ||mindec>e[i] w nowdp) mindec=e[i] w nowdp;

　　printf( %lld\\n sum_edge+mindec);

　　return ;

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