知识大全 二叉树的性质

Posted 2022-07-14 结点

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二叉树具有以下重要性质 性质 二叉树第i层上的结点数目最多为 i (i≥ ) 证明 用数学归纳法证明 　　　归纳基础 i= 时 有 ^{i = = 因为第 层上只有一个根结点 所以命题成立 　　　归纳假设 假设对所有的j( ≤j<i)命题成立 即第j层上至多有 j 个结点 证明j=i时命题亦成立 　　　归纳步骤 根据归纳假设 第i 层上至多有 i 个结点 由于二叉树的每个结点至多有两个孩子 故第i层上的结点数至多是第i 层上的最大结点数的 倍 即j=i时 该层上至多有 × i = i 个结点 故命题成立}

性质 深度为k的二叉树至多有 ^{k 个结点(k≥ )} 证明 在具有相同深度的二叉树中 仅当每一层都含有最大结点数时 其树中结点数最多 因此利用性质 可得 深度为k的二叉树的结点数至多为                 ^{+ +…+ k = k 　　故命题正确}

性质 在任意 棵二叉树中 若终端结点的个数为n 度为 的结点数为n 则no=n + 证明 因为二叉树中所有结点的度数均不大于 所以结点总数(记为n)应等于 度结点数 度结点(记为n )和 度结点数之和                      n=n_{o+n +n (式子 )　　　另一方面 度结点有一个孩子 度结点有两个孩子 故二叉树中孩子结点总数是                       nl+ n 　　树中只有根结点不是任何结点的孩子 故二叉树中的结点总数又可表示为                       n=n + n + (式子 )　　由式子 和式子 得到                       no=n +}

满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形 满二叉树(FullBinaryTree) 　　一棵深度为k且有 ^{k 个结点的二又树称为满二叉树 　　满二叉树的特点 　　（ ） 每一层上的结点数都达到最大值 即对给定的高度 它是具有最多结点数的二叉树 　　（ ） 满二叉树中不存在度数为 的结点 每个分支结点均有两棵高度相同的子树 且树叶都在最下一层上 　　【例】图(a)是一个深度为 的满二叉树}

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