知识大全 贪婪算法之——背包问题

Posted 2022-07-14 知

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　　在 / 背包问题中 需对容量为c 的背包进行装载 从n 个物品中选取装入背包的物品 每件物品i 的重量为wi 价值为pi 对于可行的背包装载 背包中物品的总重量不能超过背包的容量 最佳装载是指所装入的物品价值最高 即n ?i= pi xi 取得最大值 约束条件为n ?i = wi xi≤c 和xi?[ ] ( ≤i≤n)

　　在这个表达式中 需求出xt 的值 xi = 表示物品i 装入背包中 xi = 表示物品i 不装入背包 / 背包问题是一个一般化的货箱装载问题 即每个货箱所获得的价值不同 货箱装载问题转化为背包问题的形式为 船作为背包 货箱作为可装入背包的物品 例 在杂货店比赛中你获得了第一名 奖品是一车免费杂货 店中有n 种不同的货物 规则规定从每种货物中最多只能拿一件 车子的容量为c 物品i 需占用wi 的空间 价值为pi 你的目标是使车中装载的物品价值最大 当然 所装货物不能超过车的容量 且同一种物品不得拿走多件 这个问题可仿照 / 背包问题进行建模 其中车对应于背包 货物对应于物品

　　 / 背包问题有好几种贪婪策略 每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入 在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包 一种贪婪准则为 从剩余的物品中 选出可以装入背包的价值最大的物品 利用这种规则 价值最大的物品首先被装入(假设有足够容量) 然后是下一个价值最大的物品 如此继续下去 这种策略不能保证得到最优解 例如 考虑n= w=[ ] p =[ ] c = 当利用价值贪婪准则时 获得的解为x= [ ] 这种方案的总价值为 而最优解为[ ] 其总价值为

　　另一种方案是重量贪婪准则是 从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品 虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解 但在一般情况下则不一定能得到最优解 考虑n= w=[ ] p=[ ] c= 当利用重量贪婪策略时 获得的解为x =[ ] 比最优解[ ]要差

　　还可以利用另一方案 价值密度pi /wi 贪婪算法 这种选择准则为 从剩余物品中选择可装入包的pi /wi 值最大的物品 这种策略也不能保证得到最优解 利用此策略试解n= w=[ ] p=[ ] c= 时的最优解

　　我们不必因所考察的几个贪婪算法都不能保证得到最优解而沮丧 / 背包问题是一个N P 复杂问题 对于这类问题 也许根本就不可能找到具有多项式时间的算法 虽然按pi /wi 非递(增)减的次序装入物品不能保证得到最优解 但它是一个直觉上近似的解 我们希望它是一个好的启发式算法 且大多数时候能很好地接近最后算法 在 个随机产生的背包问题中 用这种启发式贪婪算法来解有 题为最优解 有 个例子与最优解相差 % 所有 个答案与最优解之差全在 %以内 该算法能在O (nl o gn)时间内获得如此好的性能 我们也许会问 是否存在一个x (x< ) 使得贪婪启发法的结果与最优值相差在x%以内 答案是否定的 为说明这一点 考虑例子n = w = [ y] p= [ y] 和c= y 贪婪算法结果为x=[ ] 这种方案的值为 对于y≥ / 最优解的值为 y 因此 贪婪算法的值与最优解的差对最优解的比例为( ( y )/ y* ) % 对于大的y 这个值趋近于 % 但是可以建立贪婪启发式方法来提供解 使解的结果与最优解的值之差在最优值的x% (x< ) 之内 首先将最多k 件物品放入背包 如果这k 件物品重量大于c 则放弃它 否则 剩余的容量用来考虑将剩余物品按pi /wi 递减的顺序装入 通过考虑由启发法产生的解法中最多为k 件物品的所有可能的子集来得到最优解

　　例 考虑n = w=[ ] p=[ ] c = 当k= 时 背包按物品价值密度非递减顺序装入 首先将物品 放入背包 然后是物品 背包剩下的容量为 个单元 剩下的物品没有一个合适的 因此解为x = [ ] 此解获得的价值为

　　现在考虑k = 时的贪婪启发法 最初的子集为 子集 产生与k= 时相同的结果 考虑子集 置x 为 此时还剩 个单位的容量 按价值密度非递增顺序来考虑如何利用这 个单位的容量 首先考虑物品 它适合 因此取x 为 这时仅剩下 个单位容量了 且剩余物品没有能够加入背包中的物品 通过子集 开始求解得结果为x = [ ] 获得的价值为 若从子集 开始 产生的解为x = [ ] 获得的价值为 考虑子集大小为 和 时获得的最优解为[ ] 这个解是通过k= 的贪婪启发式算法得到的

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