知识大全 特殊矩阵
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特殊矩阵
所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵 常见的有对称矩阵 三角矩阵和对角矩阵等 .对称矩阵( )对称矩阵 在一个n阶方阵A中 若元素满足下述性质 aij=aji ≤i j≤n 则称A为对称矩阵 【例】下图便是一个 阶对称矩阵
( )对称矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称 故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素 让每两个对称的元素共享一个存储空间 这样 能节约近一半的存储空间 ①按 行优先顺序 存储主对角线(包括对角线)以下的元素
即按a a a …… an an … an n 次序存放在一个向量sa[ ..n(n+ )/ ]中(下三角矩阵中 元素总数为n(n+ )/ ) 其中 sa[ ]= a sa[ ] = a …… sa[n(n+ )/ ]= an n ②元素aij的存放位置 aij元素前有i行(从第 行到第i 行) 一共有 + +…+i=i×(i+ )/ 个元素 在第i行上 aij之前恰有j个元素(即ai ail … ai j ) 因此有 sa[i×(i+ )/ +j]= aij ③aij和sa[k]之间的对应关系 若i≥j k=i×(i+ )/ +j ≤k<n(n+ )/ 若i<j k=j×(j+ )/ +i ≤k<n(n+ )/ 令I=max(i j) J=min(i j) 则k和i j的对应关系可统一为 k=i×(i+ )/ +j ≤k<n(n+ )/
( )对称矩阵的地址计算公式 LOC(aij)=LOC(sa[k]) =LOC(sa[ ])+k×d=LOC(sa[ ])+[I×(I+ )/ +J]×d 通过下标变换公式 能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k 因此是随机存取结构 【例】a 和a 均存储在sa[ ]中 这是因为 k=I×(I+ )/ +J= ×( + )/ + =
三角矩阵 ( )三角矩阵的划分 以主对角线划分 三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种 ①上三角矩阵 如下图(a)所示 它的下三角(不包括主角线)中的元素均为常数c ②下三角矩阵 与上三角矩阵相反 它的主对角线上方均为常数c 如下图(b)所示 注意 在多数情况下 三角矩阵的常数c为零
( )三角矩阵的压缩存储 三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间 其余的元素正好有n×(n+ )/ 个 因此 三角矩阵可压缩存储到向量sa[ ..n(n+ )/ ]中 其中c存放在向量的最后一个分量中 ① 上三角矩阵中aij和sa[k]之间的对应关系 上三角矩阵中 主对角线之上的第p行( ≤p<n)恰有n p个元素 按行优先顺序存放上三角矩阵中的元素aij时 aij元素前有i行(从第 行到第i 行) 一共有 (n )+(n )+(n )+…+(n i)=i×( n i+ )/ 个元素 在第i行上 aij之前恰有j i个元素(即aij ai j+l … ai j ) 因此有 sa[i×( n i+ )/ +j i]= aij 所以 ┌i×( n i+ )/ +j i 当i≤j k=│ └n×(n+ )/ 当i>j
②下三角矩阵中aij和sa[k]之间的对应关系 ┌i×(i+ )/ +j 当i≥j k=│ └n×(n+ )/ 当i<j 注意 三角矩阵的压缩存储结构是随机存取结构
.对角矩阵 所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中 即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外 其余元素皆为零的矩阵为对角矩阵 【例】下图给出了一个三对角矩阵
其中 非零元素仅出现在主对角上(aii ≤i≤n ) 紧邻主对角线上面的那条对角线上(ai i+ ≤i≤n )和紧邻主对角线下面的那条对角线上(a i+ i ≤i≤n ) 当|i j|> 时 元素aij= 由此可知 一个k对角线矩阵(k为奇数)A是满足下述条件的矩阵 若|i j|>(k )/ 则元素aij= 对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序 将其压缩存储到一个向量中 并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系 具体【参见练习】
cha138/Article/program/sjjg/201311/23770相关参考
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已知A为稀疏矩阵试从空间和时间角度比较采用两种不同的存储结构(二维数组和三元组表)完成求运算的优缺点【西安电子科技大学二(分)】 特殊矩阵和稀疏矩阵哪一种压缩存储后失去随机存取的功能?为什么?【
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带行表的三元组表 为了方便某些矩阵运算在按行优先存储的三元组表中加入一个行表来记录稀疏矩阵中每行的非零元素在三元组表中的起始位 置这就是带行表的三元组表 ()类型描述 #defineMax
定义 邻接矩阵(AdjacencyMatrix)是表示顶点之间相邻关系的矩阵设G=(VE)是一个图其中V=vv…vnG的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵 特点 无向图的邻