知识大全 图 - 生成树和最小生成树 - 最小生成树（二）

Posted 2022-07-14 知

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　　 普里姆(Prim)算法

　　( )算法思想

　　T=(U TE)是存放MST的集合

　　①T的初值是(r ￠)

　　即最小生成树初始时只有一个红点r 没有红边

　　②T经过n 次如下步骤操作 最后得到一棵含n个顶点 n 条边的最小生成树

　　⒈选择紫边集中一条轻边并扩充进T

　　⒉将轻边连接的蓝点改红点

　　⒊将轻边改红边

　　⒋修改紫边集

　　( )较小紫边集的构造

　　若当前形成的T中有k个顶点 |U|=k |V u|=n k 故可能的紫边数目是k(n k) 从如此大的紫边集中选择轻边是低效的 因此

　　 必须构造较小的紫边集

　　对于每个蓝点v ∈V U 从v到各红点的紫边中 只有最短的那一条才有可能是轻边 因此 只须保留所有n k个蓝点所关联的最

　　短紫边作为轻边的候选集即可

　　( )候选紫边集合的修改

　　当把轻边(u v)扩充到T时 因为v由蓝变红 故对每个剩余的蓝点j 边(v j)就由非紫边变为紫边 这条新紫边的长度可能小

　　于蓝点j原来所关联的最短紫边的长度 因此 用长度更小的新紫边取代那些原有的最短紫边

　　( )Prim算法的伪代码描述

　　PrimMST(G T r)

　　//求图G的以r为根的MST 结果放在T=(U TE)中

　　InitCandidateSet(…);//初始化 设置初始的轻边候选集 并置T=(r ￠)

　　for(k= ;k

　　(u，v)=SelectLiShtEdge(…);//选取轻边(u，v);

　　T←T∪(u，v);//扩充T，即(u，v)涂红加入TE，蓝点v并人红点集U

　　ModifyCandidateSet(…); //根据新红点v调整候选轻边集

　　(5) 算法的执行过程

　　用PRIM算法得到最小生成树的过程【 参见动画演示 】

　　注意：

　　若候选轻边集中的轻边不止一条，可任选其中的一条扩充到T中。tW.WingWit.

　　连通网的最小生成树不一定是惟一的，但它们的权相等。

　　【例】在上图(e)中，若选取的轻边是(2，4)而不是(2，1)时，则得到如图(h)所示的另一棵MST。

　　(6)算法特点

　　该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集，V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接

　　红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始，并逐渐生长直至U=V，即T包含了

　　C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小，因此这是一种"贪心"的策略。

　　(7)算法分析

　　该算法的时间复杂度为O(n 2 )。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。

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