知识大全 树 - 哈夫曼树及其应用 - 最优二叉树（一）

Posted 2022-07-14 结点

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　　 树的路径长度

　　树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和 在结点数目相同的二叉树中 完全二叉树的路径长度最短

　　 树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree 简记为WPL)

　　结点的权 在一些应用中 赋予树中结点的一个有某种意义的实数

　　结点的带权路径长度 结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积

　　树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree) 定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和 通常记为

　　其中

　　n表示叶子结点的数目

　　w i 和l i 分别表示叶结点k i 的权值和根到结点k i 之间的路径长度

　　树的带权路径长度亦称为树的代价

　　 最优二叉树或哈夫曼树

　　在权为w l w … w n 的n个叶子所构成的所有二叉树中 带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为 最优二叉树 或

　　哈夫曼树

　　【例】给定 个叶子结点a b c和d 分别带权 和 构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵) 它们的带权路径长度分别

　　为

　　(a)WPL= * + * + * + * =

　　(b)WPL= * + * + * + * =

　　(c)WPL= * + * + * + * =

　　其中(c)树的WPL最小 可以验证 它就是哈夫曼树

　　注意

　　① 叶子上的权值均相同时 完全二叉树一定是最优二叉树 否则完全二叉树不一定是最优二叉树

　　② 最优二叉树中 权越大的叶子离根越近

　　③ 最优二叉树的形态不唯一 WPL最小

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