知识大全数列，求Sn: ①an=2^n-1 ②an=n2^(n-1)

Posted 2022-07-11 数列

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数列，求Sn: ①an=2^n-1 ②an=n2^(n-1)

1.
Sn=(2-1)+(2²-1)+...+(2^n-1)=(2+2²+...+2^n)-(1+1+...+1)=(2+2²+...+2^n)-n
利用等比数列求和公式，
Sn=2*(1-2^n)/(1-2)-n=2*(2^n-1)-n=2^(n+1)-2-n
2.
Sn=1x2°+2x2+3x2²+4x2³+...+n2^(n-1)
2Sn=1x2+2x2²+3x2³+...+（n-1)2^(n-1)+n2^n
两式相减可得：
-Sn=1x2°+（2-1）x2+（3-2）x2²+（4-3）x2³+...+2^(n-1)-n2^n
=1x2°+2+2²+2³+...+2^(n-1)-n2^n
=(1-2^n)/(1-2)-n2^n
=2^n-1-n2^n
Sn=（n-1）2^n+1

数列an=(-1)^(n-1)·n^2 求Sn

（1）当n为偶数时，令n=2k，则k=n/2
Sn=1²-2²+3²-4²+……+(2k-1)²-(2k)²
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+……+(2k-1-2k)(2k-1+2k)
=-1-2-3-4-……-(2k-1)-2k
=-(2k+1)*2k/2
=-k(2k+1)
=-n(n+1)/2
（2）当n为奇数时，令n=2k-1，则k=(n+1)/2
Sn=1²-2²+3²-4²+……+(2k-3)²-(2k-2)²+(2k-1)²
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+……+(2k-3-2k+2)(2k-3+2k-2)+(2k-1)²
=-1-2-3-4-……-(2k-3)-(2k-2)+(2k-1)²
=-(2k-1)*(2k-2)/2+(2k-1)²
=k(2k-1)
=n(n+1)/2
综上所述，
Sn=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2

数列An=n-1,求和Sn=(A1^2)-(A2^2)+...+((-1)^(n-1))(An^2)

n为奇数，有
sn=(a1^2-a2^2)+(a3^2-a4^2)+……+[a(n-2)^2-a(n-1)^2]+(an)^2
=[(a1+a2)(a1-a2)]+[(a3+a4)(a3-a4)]+……+[a(n-2)+a(n-1)][a(n-2)-a(n-1)]+(an)^2
=-[a1+a2+……+a(n-2)+a(n-1)]+(an)^2
=-[0+1+2+……+(n-2)]+(n-1)^2
=-(n-1)(n-2)/2+(n-1)^2
n为偶数，有
sn=(a1^2-a2^2)+(a3^2-a4^2)+……+[a(n-1)^2-an^2]
=[(a1+a2)(a1-a2)]+[(a3+a4)(a3-a4)]+……+[a(n-1)+an][a(n-1)-an]
=-[a1+a2+……+a(n-1)+an]
=-[0+1+2+……+(n-2)+(n-1)]
=-n(n-1)/2

数列｛an｝中，a1=1,Sn=[S(n-1)]/[1+2S(n-1)](n≥2)求an

两边求倒数，得
1/sn=1/s(n-1) +2
所以数列1/sn是公差为2的等差数列
1/sn=1/s1+(n-1)d
=1+2n-2
1/sn=2n-1
sn=1/(2n-1)
an=sn-s(n-1)
=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]

数列题数列an中 a1=1 Sn=S（n-1)/2S(n-1)+1

Sn=S（n-1)/（2S(n-1)+1）
2SnS(n-1)+Sn=S(n-1)
两边除以SnS(n-1)
1/Sn=1/S(n-1) +2
所以1/Sn是首项为1，公差为2的等差
即1/Sn=2n-1
Sn=1/(2n-1)
由2SnS(n-1)+Sn=S(n-1)
可以得到2SnS(n-1)=S(n-1)-Sn=-an
即an=-2SnS(n-1)=-2/(2n-1)(2n-3)

数列an中,an=n(-a)^(n-1),(n∈N*),求sn

解：
①
n≥2时，an=Sn/n +2(n-1)
Sn=nan -2n(n-1)
S(n-1)=(n-1)an-2(n-1)(n-2)
Sn-S(n-1)=an=nan-2n(n-1)-(n-1)an+2(n-1)(n-2)
an-a(n-1)=4，为定值。
又a1=1，数列an是以1为首项，4为公差的等差数列。
an=1+4(n-1)=4n-3
数列an的通项公式为an=4n-3。
②
Sn/n=an -2(n-1)=4n-3-2(n-1)=2n-1
S1/1 +S2/2+...+Sn/n -(n-1)?
=2(1+2+...+n) -n -(n-1)?
=2n(n+1)/2 -n -(n-1)?
=2n-1
令2n-1=2011
2n=2012
n=1006
即存在n满足题意，当n=1006时，等式成立。
用a[n]表示第n项
1)a[n]=S[n]/n+2(n-1)
S[n]=na[n]-2n(n-1)
S[n-1]=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2)
当n≥2时两式相减:a[n]=S[n]-S[n-1]=na[n]-(n-1)a[n-1]-4(n-1)
整理可得:a[n]-a[n-1]=4
a[n]是以a[1]=1,d=4的等差数列
于是:a[n]=1+4(n-1)=4n-3
S[n]=n(a[1]+a[n])/2=2n^2-n.
2)S[n]/n=2n-1,S1/1=1,S[n]/n是等差数列，首项为1，公差为2
S[1]+S[2]/2+…+S[n]/n-(n-1)^2=（1+2n-1)n/2-(n-1)^2=n^2-(n-1)^2=2n-1=2011
∴n=1006

已知数列an中，a1=5,an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N*,n≥2) 求数列an的前n项和Sn

数列an中，a1=5,
an=2a<n-1>+2^(n-1)(n∈N*,n≥2),
∴an/2^(n-1)=a<n-1>/2^(n-2)+1
=……=a1+n-1=n+4,
∴an=(n+4)*2^(n-1),
∴Sn=5+6*2+7*2^2+……+（n+4)*2^(n-1),
2Sn=.....5*2+6*2^2+……+（n+3)*2^(n-1)+(n+4)*2^n,
相减得-Sn=5+2+2^2+……+2^(n-1)-(n+4)*2^n
=3+2^n-(n+4)*2^n,
∴Sn=(n+3)*2^n-3.

数列:已知an=n2^(n-1)求Sn

解：
sn=a1+a2+a3+……+an
=1*2^0+2*2+3*2^2+4*2^3+……+n2^(n-1)
2sn=1*2+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n
两式相减
得
-sn=1+2+2^2+2^3+……+2^（n-1）-n*2^n
=1*(1-2^n）/(1-2)-n*2^n
=2^n-1-n2^n
所以
sn=（n-1）2^n-1

数列中，a1=1,Sn=[S(n-1)]/[2S(n-1)+1] (n>=2)求正｛1/Sn｝是等差数列求通响

1/Sn=[2S(n-1)+1]/S(n-1)=2+1/S(n-1)
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以1/Sn是等差数列
S1=a1=1
1/S1=1
1/Sn的d=2
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
S(n-1)=1/(2n-3)
则n>=2时
an=Sn-S(n-1)=-2/[(2n-1)(2n-3)]
a1=1也符合
所以an=-2/[(2n-1)(2n-3)]

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