知识大全 An=(n+1)2^n.求Sn

Posted 2022-07-11 数列

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An=(n+1)2^n.求Sn

An=(n+1)2^n
Sn=a1+a2+...+an
=2*2+3*2^2+4*2^3+...+(n+1)2^n
2Sn=2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n+1)2^(n+1)
两式相减得
-Sn=2*2+2^2+2^3+...2^n-(n+1)2^(n+1)
=2+2^(n+1)-2-(n+1)2^(n+1)
=2^(n+1)-(n+1)2^(n+1)
Sn=(n+1)2^(n+1)-2^(n+1)
=n2^(n+1)

已知：Sn＝1?2+3?4+5?6+…+(?1)n+1?n．求Sn

当n为正奇数时，
S_n=（1-2）+（3-4）+…+[（n-2）-（n-1）]+n
=-

n?1

+n
=

n+1

；
当n为正偶数时，
S_n=（1-2）+（3-4）+…+[（n-1）-n]
=-

．
综上知Sn＝

n+1

(n为正奇数)

(n为正偶数)

数列an有，an=2^（n+1）/（2^n+1）[2^(n+1)+1]，求sn

1/（2^n+1）-1/[2^(n+1)+1]
=[2^(n+1)+1-（2^n+1）]/（2^n+1）[2^(n+1)+1]
=[2^(n+1)-（2^n）]/（2^n+1）[2^(n+1)+1]
=2^n/（2^n+1）[2^(n+1)+1]
所以a(n)=2*1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]
s(n)=2*1/(2^1+1)-1/[2^(n+1)+1]
=2*1/3-1/[2^(n+1)+1]
=2*[2^(n+1)-2]/3*[2^(n+1)+1]
=(2/3)*[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)+1]

a1=2 a(n+1) =λAn + λ^(N+1)+(2-λ)2^N.求解题思路。

解:a[n+1]=λa[n]+λ^(n+1)+(2-λ)2^n
两边除以λ^(n+1)，的
a[n+1]/λ^(n+1)=a[n]/λ^n+1+[(2-λ)/λ]×2^n
构造新数列b[n],令b[n]=a[n]/λ^n, b[1]=2/λ
即 b[n+1]=b[n]+1+[(2-λ)/λ]×(2/λ)^n
b[n]=b[n-1]+1+[(2-λ)/λ]×(2/λ)^(n-1）
∶
∶
b[3]=b[2]+1+[(2-λ)/λ]×(2/λ)^2
b[2]=b[1]+1+[(2-λ)/λ]×2/λ
各式相加，得
b[n]=b[1]+n-1+[(2-λ)/λ]×∑[1≤k≤n](2/λ)^(k-1）
b[n]=2/λ+n-1+(2/λ)^n-2/λ
即 b[n]=n-1+(2/λ)^n
从而所求的通项公式: a[n]=[n-1+(2/λ)^n]×λ^n=(n-1)λ^n+2^n
s[n]=2+(λˆ2+2ˆ2）+(2λˆ3+2ˆ3)+(3λˆ4+2ˆ4)+…+(n-1)λ^n+2^n
=(λˆ2+2λˆ3+3λˆ4+…+(n-1)λ^n)+(2+2ˆ2+2ˆ3+2ˆ4+…+2ˆn)
令c[n]=λˆ2+2λˆ3+3λˆ4+…+(n-1)λ^n, d[n]=2+2ˆ2+2ˆ3+2ˆ4+…+2ˆn
则 s[n]=c[n]+d[n]
又 c[n]=λˆ2+2λˆ3+3λˆ4+…+(n-1)λ^n
λc[n]=λˆ3+2λˆ4+3λˆ5+…+(n-1)λ^(n+1)
错位相减，得
(1-λ)c[n]=λˆ2+λˆ3+λˆ4+…+λ^n-(n-1)λ^(n+1)
(1-λ)c[n]=λˆ2[1-λˆ(n-1)]/(1-λ)-(n-1)λ^(n+1)
所以 c[n]=λˆ2[1-λˆ(n-1)]/(1-λ)ˆ2-(n-1)λ^(n+1)/(1-λ)
d[n]=2+2ˆ2+2ˆ3+…+2ˆn=2ˆ(n+1)-2
所以前n项和s[n]=λˆ2[1-λˆ(n-1)]/(1-λ)ˆ2-(n-1)λ^(n+1)/(1-λ)+2ˆ(n+1)-2

我帮你做出来了，答案过程在我给传送的百度hi里面请及时查收
An+1-2t^n=2(2^n-t^n)/(2-t)+n*t^(n+1) 两条都看看
重点见
第二条讯息

急！a1=a.a（n+1）=Sn+3^n.设bn=Sn-3^n.求数列bn的通项公式。

a（n+1）+2*3^(n-1)=2[a(n)+2*3^(n-1)] (n>=2)
a(n)+2*3^(n-1)=a*2^(n-1)+2*[6^(n-1)-3^(n-1)] (n>=2),n=1成立
Sn=((2^n)-1)*a+(2/5)(-1+6^n)-3^n+3/5
bn=((2^n)-1)*a+(2/5)(-1+6^n)-2*3^n+3/5 , n=1,2,3...

数列an前N项为Sn满足Sn=n²+n. 1.求an通项公式 2.令bn=(n+1)/(n+2)²

Sn=n²+n
（1）n=1时，
a1=S1=1+1=2
（2）n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n
n=1时也满足
∴ an=2n
二、
bn=(n+1)/[(n+2)²*(2n)²]=[4(n+1)/16]/[(n+2)²*n²]=(1/16)*[1/n² -1/(n+2)²]
∴ Tn=(1/16)*[1/1-1/9+1/4-1/16+......+1/(n-1)²-1/(n+1)²+1/n² -1/(n+2)²]
=(1/16)[1+1/4-1/(n+1)²-1/(n+2)²]
<(1/16)*(5/4)
=5/64
∴ 不等式成立

an=(3n-2)2^n-1,求Sn?和an=1/n(n+1),求Sn.？

an=(3n-2)2^（n-1)
sn=1+4*2+...+(3n-2)2^（n-1)
则2sn=1*2+4*4+...+(3n-5)2^（n-1)+(3n-2)2^n
上下两式相减
-sn=1+3*2+...+3*2^（n-1)-(3n-2)2^n
即sn=-1-3(2+4+...+2^(n-1)+(3n-2)2^n
sn=(3n-5)2^n+5
an=1/n(n+1),
sn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(1+n)=n/(n+1)

数列an有，an=2^n/（2^n+1）[2^(n+1)+1]，求sn

解：先对通项进行恒等变形，分子上面加个1，再减个1
An＝(2^n＋1－1) / （2^n+1）[2^(n+1)+1] ，裂项，得
An＝[1 / 2^(n+1)+1 ] － [ 1 / 2^n+1 ]
那么Sn＝A1＋A2＋A3＋...＋A(n-1)＋An
＝(1/5－1/3)＋(1/9－1/5)＋(1/17－1/9)＋...＋(1 / 2^n+1 － 1 / 2^(n-1)+1)＋(1 / 2^(n+1)+1 － 1 / 2^n+1 )
观察可知，每个括号里面的正项，都会被它后面括号里的负项抵消；而每个括号里面的负项，都会被它前面括号里的正项抵消，后面的话，还要我说吗？
这就是数列求和的经典型别之一 → “裂项相消”法。小朋友，几大经典型别是数列问题的核心，一定要掌握，这种东西最好是在课堂上听老师讲解，课上不学，课下跑来问百度，这是不好的。百度不是万能的，它不可能给你前途。