知识大全等差数列an中，a1=1,(n+1)an=(n-1)an-1,Sn是其前几项的和，求Sn

Posted 2022-07-11 数列

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等差数列an中，a1=1,(n+1)an=(n-1)an-1,Sn是其前几项的和，求Sn

an/a(n-1)=[n-1]/[n+1]
a2/a1=1/3
a3/a2=2/4
a4/a3=3/5
.
.
.
a(n-1)/a(n-2)=n-2/n
an/a(n-1)=n-1/n+1
相乘：an/a1=2/n*(n+1)
an=2/n*(n+1)=2*[1/n-1/(n+1)]
Sn=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

在等差数列an中,a1为首项,sn是其前n 项的和,将sn=(a1+an)n/2

在直线y=x上（q值为0.5）

已知在数列an中，a1＝12，Sn是其前n项和，且Sn=n2an-n（n-1）．（1）证明：数列n+1nSn是等差数列；（

（1）由条件可得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1）
两边同除以n（n-1），得：

n+1

Sn?

n?1

Sn?1＝1
所以：数列

n+1

Sn成等差数列，且首项和公差均为（14分）
（2）由（1）可得：

n+1

Sn＝n，Sn＝

n+1

，代入S_n=n²a_n-n（n-1）可得an＝1?

n(n+1)

，所以bn＝

，Tn＝1+

．（6分）
①bn＝

当n≥2时，bn＝Tn?Tn?1＝

，即Tn?

＝Tn?1
平方则Tn2?

2Tn

＝Tn?12∴Tn2?Tn?12＝

2Tn

叠加得Tn2?1＝2(

)?(

数列an的前n项和为Sn，已知a1=1/2,Sn=n^2an-n(n-1) (1)证明：数列（n+1)/n*Sn是等差数列，求Sn

（1）.看到Sn的式子，可以把An变为Sn-Sn-1，
所以将原式变为Sn=n^2（Sn-Sn-1）-n(n-1)。
分解移项，得（n^2-1）Sn+n^2Sn-1+n(n-1)
两边同除n(n-1) 得 (n+1)Sn/n-nSn/n-1=1 所以数列(n+1)Sn/n是等差数列
令(n+1)Sn/n=Bn B1=1 ，所以Bn=n 所以Sn=n^2/（n+1）

数列（an），a1=1，当n≥2，其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1)证（1/Sn）是等差数列

n>1时
an=Sn-S(n-1)
(Sn)^2=[Sn-S(n-1)](Sn-1)
=(Sn)^2-Sn+S(n-1)-SnS(n-1)
因此S(n-1)-Sn=SnS(n-1)
由题知道Sn不等于0
两边同时除以SnS(n-1)得
1/Sn-1/S(n-1)=1
因此（1/Sn)是等差数列
首项为1/S1=1/a1=1,公差为1
因此1/Sn=1+（n-1)*1=n
因此Sn=1/n
S（n+2）=1/（n+2）
Sn/S(n+2)=(n+2)/n
bn=log(2)[(n+2)/n]=log(2)(n+2)-log(2)n
当n为奇数时
Tn=1og(2)3-log(2)1+log(2)4-log(2)2+…+log(2)(n+1)-log(2)(n-1)+log(2)(n+2)-log(2)n
=log(2)(n+2)-log(2)1+log(2)(n+1)-log(2)2
=log(2)(n+2)+log(2)(n+1)-1
当n为偶数时
Tn=1og(2)3-log(2)1+log(2)4-log(2)2+…+log(2)(n+1)-log(2)(n-1)+log(2)(n+2)-log(2)n
=log(2)(n+2)-log(2)2+log(2)(n+1)-log(2)1
=log(2)(n+2)+log(2)(n+1)-1
综上所述
Tn
=log(2)(n+2)+log(2)(n+1)-1
=log(2)(n+2)+log(2)(n+1)-log(2)2
=log(2)[(n+2)(n+1)/2]
Tn≥6则
log(2)[(n+2)(n+1)/2]≥6
即log(2)[(n+2)(n+1)/2]≥log(2)(2^6)
又f(x)=log(2)x是增函式,2^6=64
因此
（n+2)(n+1)/2≥64
化简得到
n^2+3n-126≥0
由n>0解得
n≥(-3+√516)/2
又22<√516<23
（-3+22）/2=9.5
(-3+23)/2=10
因此满足Tn≥6的最小正整数n 为10

在等差数列（an）中，Sn是其前n相项和，A1=-2011.

S2011/2011=(a1+a2011)/2
S2009/2009=(a1+a2009)/2
S2011/2011-S2009/2009
=(a1+a2011)/2-(a1+a2009)/2
=1/2(a2011-a2009)
=1/2 x 2d=d =2
由此可知此等差数列的首项为a1=-2011,公差d=2所以：
S2012=[a1+a1+(2012-1)2]2012/2
=0

设数列an的前n项和Sn>0,a1=1,a2=3当n≥2时，an*a（n+1）=（a(n+1)-an）Sn，求Sn是等差数列

S[n]是等比数列（结论弄错了好不好...）且S[n]=4^(n-1)。
证明：n>=2时，a[n]=S[n]-S[n-1]
条件化为(S[n]-S[n-1])*(S[n+1]-S[n])=(S[n+1]-S[n])-(S[n]-S[n-1])*S[n]
化简得S[n-1]*S[n+1]=(S[n])^2
即S[n+1]/S[n]=S[n]/S[n-1]，故为等比数列（S[1]=1，S[2]=4都不为0）
且公比q=4
所以S[n]=S[1]*4^(n-1)=4^(n-1)。

和为数列An前n项Sn,已知A1=1/2,Sn=n^2An-n(n-1），(1)证明数列（n+1）Sn/n是等差数列并求出Sn

（1）.an=Sn-S(n-1) 代入上式中得：
Sn=n²[Sn-S(n-1)]-n(n-1)
(1-n²)Sn+n²S(n-1)=-n(n-1)
两边同除 -n(n-1) 得
[(n+1)Sn]/n-nS(n-1)/(n-1)=1
(n+1)Sn/n是等差数列 d=1 (1+1)S1/1=2a1=1
(n+1)Sn/n=1+(n-1)*1=n
Sn=n²/(n+1)
(2)Bn=Sn/n³=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
B1+B2+....+Bn
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)<1

等差数列an中，a1=1，d=1，则该数列的前n项和Sn=（　　）A．nB．n（n+1）C．n（n-1）D．n(n+1)

S_n=na₁+

n(n?1)d

=n+

n(n?1)